Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $$$7\cos x+8=8\sec x$

Ditanya:

Definisi nilai x?

Dijawab:

$\leftrightarrow\ 7\cos x+8=8\sec x$

$\leftrightarrow\ 7\cos x+8=8\cdot\frac{1}{\cos x}$ (menggunakan identitas trigonometri)

$\leftrightarrow\ 7\cos x\cdot\cos x+8\cdot\cos x=8\cdot\frac{1}{\cos x}\cdot\cos x$ (kedua ruas dikali dengan cosx)

$\leftrightarrow\ 7\cos^2x+8\cos x-8=0$

$$ Persamaan kuadrat diatas tidak dapat difaktorkan dengan bulat, sehingga difaktorkan dengan rumus abc:

$\leftrightarrow\ \cos x=\frac{-8\pm\sqrt{\left(8\right)^2-4\left(7\right)\left(-8\right)}}{2\left(7\right)}$

$\leftrightarrow\ \cos x=\frac{-8\pm\sqrt{64+224}}{14}$

$\leftrightarrow\ \cos x=\frac{-8\pm\sqrt{288}}{14}$

$\leftrightarrow\ \cos x=\frac{-8\pm\sqrt{4}\cdot\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}}{14}$

$\leftrightarrow\ \cos x=\frac{-8\pm2\cdot6\cdot\sqrt{2}}{14}$

$\leftrightarrow\ \cos x=\frac{-4\pm6\sqrt{2}}{7}$ (menyederhanakan dengan membagi penyebut dan pembilang dengan 2)

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\cos x=\cos a$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=-a+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari cosinus adalah $360^{\circ}\$. Maka jika $a$ dimisalkan sebagai $$ , kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

1. $x=\arccos\left(\frac{-4\pm6\sqrt{2}}{7}\right)+2k\pi$
2. $x=-\arccos\left(\frac{-4\pm6\sqrt{2}}{7}\right)+2k\pi$

Dapat disimpulkan bahwa nilai $x$ dapat didefinisikan sebagai $\arccos\left(\frac{-4\pm6\sqrt{2}}{7}\right)+2k\pi$ dan $-\arccos\left(\frac{-4\pm6\sqrt{2}}{7}\right)+2k\pi$.