Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$7\tan2x=24$

Ditanya:

$\sin3x$?

Dijawab:

Berdasarkan soal, nilai dari $7\tan2x$ adalah 24 yang mana dapat dilihat bahwa nilai dari $\tan2x$ adalah $\frac{24}{7}$ sehingga dapat digambarkan kedalam sebuah segitiga seperti demikian:

*) Nilai setiap sisinya didapat menggunakan rumus teorema phytagoras.

Maka, dapat dilihat bahwa nilai dari $\cos2x$ adalah $\frac{7}{25}$ , dimana selanjutnya akan dilakukan penghitungan:

$\leftrightarrow\ \cos2x=\frac{7}{25}$

$\leftrightarrow\ 1-2\sin^2x=\frac{7}{25}$

$\leftrightarrow\ -2\sin^2x=\frac{7}{25}-1$

$\leftrightarrow\ -2\sin^2x=\frac{7}{25}-\frac{25}{25}$

$\leftrightarrow\ -2\sin^2x=-\frac{18}{25}$

$\leftrightarrow\ \sin^2x=\frac{18}{25}\cdot\frac{1}{2}$

$\leftrightarrow\ \sin^2x=\frac{9}{25}$

$\leftrightarrow\ \sin x=\frac{3}{5}$

Berikutnya dihitung nilai dari $\sin3x$ :

$=\sin\left(2x+x\right)$

$=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$

$=2\cdot\sin x\cdot\cos x\cdot\cos x+\left(1-2\sin^2x\right)\cdot\sin x$

$=2\cdot\sin x\cdot\cos^2x+\left(1-2\sin^2x\right)\cdot\sin x$

$=2\cdot\sin x\cdot\cos^2x+\sin x-2\sin^3x$

$=2\cdot\sin x\cdot\left(1-\sin^2x\right)+\sin x-2\sin^3x$

$=2\cdot\sin x-2\sin^3x+\sin x-2\sin^3x$

$=3\sin x-4\sin^3x$

Selanjutnya disubstitusikan nilai $\sin x$ kedalam hitungan tersebut:

$=3\cdot\frac{3}{5}-4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3$

$=\frac{9}{5}-4\cdot\frac{27}{125}$

$=\frac{9}{5}-\frac{108}{125}$

$=\frac{225}{125}-\frac{108}{125}$

$=\frac{117}{125}$