Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{2-x}>x$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\ g\left(x\right)$. Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi 1 (*):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol) (II)
3. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)>g\left(x\right)^2$ (III)

Solusi 2 (**):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (IV)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)<0$ (negatif) (V)

Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika $g\left(x\right)<0$, $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ akan benar untuk seluruh nilai $x$ riil.

Solusi akhir:

Gabungan dari solusi 1 dan 2.

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{2-x}>x$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=2-x$ dan $g\left(x\right)=x$.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Solusi 1:

Kasus 1

$2-x\ge0$ ⇔ $x\le2$ ... (I)

Kasus 2

$x\ge0$ ... (II)

Kasus 3

$2-x>x^2$

⇔ $0>x^2+x-2$

⇔ $x^2+x-2<0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2+x-2=0$

⇔ $\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$

$x+2=0$ ⇔ $x=-2$ atau

$x-1=0$ ⇔ $x=1$

Pembuat nol adalah $-2$ dan $1$. Tanda pertidaksamaan adalah $<$ sehingga solusinya adalah $-2<x<1$ (III).

Solusi 1 atau (*) diperoleh dari irisan (I), (II), dan (III). Garis bilangannya digambarkan sebagai berikut.

Solusi (*) adalah $0\le x<1$.

Solusi 2:

Kasus 1

$2-x\ge0$ ⇔ $x\le2$ ... (IV)

Kasus 2

$x<0$ ... (V)

Irisan dari (IV) dan (V) untuk memperoleh solusi 2 (**) adalah

$x<0$ (**)

Solusi keseluruhan adalah gabungan dari solusi (*) dan (**). Jadi, solusi keseluruhannya adalah $x<1$.

Pembuktian:

Untuk $x<1$, kita gunakan $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{2-0}>0$

⇔ $\sqrt{2}>0$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.