Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Tentukan solusi dari pertidaksamaan 2x>x\sqrt{2-x}>x !

A

0x<10\le x<1

B

x<1x<1

C

2<x<1-2<x<1

D

x0x\le0

E

x2x\ge2

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan 2x>x\sqrt{2-x}>x

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk f(x)> g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\ g\left(x\right). Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi 1 (*):

Irisan dari

  1. Syarat akar f(x)0f\left(x\right)\ge0 (I)
  2. Kasus fungsi g(x)0g\left(x\right)\ge0 (positif atau sama dengan nol) (II)
  3. Kuadratkan kedua ruas menjadi f(x)>g(x)2f\left(x\right)>g\left(x\right)^2 (III)

Solusi 2 (**):

Irisan dari

  1. Syarat akar f(x)0f\left(x\right)\ge0 (IV)
  2. Kasus fungsi g(x)<0g\left(x\right)<0 (negatif) (V)

Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika g(x)<0g\left(x\right)<0, f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right) akan benar untuk seluruh nilai xx riil.

Solusi akhir:

Gabungan dari solusi 1 dan 2.

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

2x>x\sqrt{2-x}>x ... (1)

dengan f(x)=2xf\left(x\right)=2-x dan g(x)=xg\left(x\right)=x.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Solusi 1:

Kasus 1

2x02-x\ge0 ⇔ x2x\le2 ... (I)

Kasus 2

x0x\ge0 ... (II)

Kasus 3

2x>x22-x>x^2

⇔ 0>x2+x20>x^2+x-2

⇔ x2+x2<0x^2+x-2<0 ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x2+x2=0x^2+x-2=0

⇔ (x+2)(x1)=0\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0

x+2=0x+2=0 ⇔ x=2x=-2 atau

x1=0x-1=0 ⇔ x=1x=1

Pembuat nol adalah 2-2 dan 11. Tanda pertidaksamaan adalah << sehingga solusinya adalah 2<x<1-2<x<1 (III).

Solusi 1 atau (*) diperoleh dari irisan (I), (II), dan (III). Garis bilangannya digambarkan sebagai berikut.

Solusi (*) adalah 0x<10\le x<1.

Solusi 2:

Kasus 1

2x02-x\ge0 ⇔ x2x\le2 ... (IV)

Kasus 2

x<0x<0 ... (V)

Irisan dari (IV) dan (V) untuk memperoleh solusi 2 (**) adalah

x<0x<0 (**)

Solusi keseluruhan adalah gabungan dari solusi (*) dan (**). Jadi, solusi keseluruhannya adalah x<1x<1.

Pembuktian:

Untuk x<1x<1, kita gunakan x=0x=0 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ 20>0\sqrt{2-0}>0

⇔ 2>0\sqrt{2}>0 ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal