Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilgan

Solusi dari pertidaksamaan (x1)25x(x+2)(x4)(x5)20\frac{\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2}\ge0 adalah ....

A

2x0, x=1, -2\le x\le0,\ x=1,\ atau x>5x>5

B

2x0, x=1, -2\le x\le0,\ x=1,\ atau x>4x>4

C

2x0, x=1, -2\le x\le0,\ x=1,\ 4<x<5,4<x<5, atau x>5x>5

D

x1x\ge1

E

2x0-2\le x\le0 atau x>5x>5

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan (x1)25x(x+2)(x4)(x5)20\frac{\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2}\ge0

Ditanya:

Rentang nilai xx yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

f(x)g(x)0, f(x)g(x)>0, f(x)g(x)<0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0 , atau f(x)g(x)0\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

  1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
  2. Menyamakan penyebut
  3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
  4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu f(x)=0f\left(x\right)=0 dan g(x)=0g\left(x\right)=0. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
  5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

(x1)25x(x+2)(x4)(x5)20\frac{\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2}\ge0 ... (1)

Tahap 1 hingga 3 sudah tidak perlu dilakukan karena bentuk pertidaksamaan (1) sudah sama dengan bentuk umum di atas.

Sekarang, kita cari pembuat nol dari kedua fungsi. Fungsinya adalah f(x)=(x1)25x(x+2)f\left(x\right)=\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right) dan g(x)=(x4)(x5)2g\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2.

f(x)=0f\left(x\right)=0

(x1)25x(x+2)=0\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)=0

(x1)2=0\left(x-1\right)^2=0 x=1x=1 (berulang dua kali)

atau

5x=05x=0 x=0x=0, atau

x+2=0x+2=0 x=2x=-2

Setelah itu, kita cari juga pembuat nol di fungsi g(x)g\left(x\right).

g(x)=0g\left(x\right)=0

(x4)(x5)2=0\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2=0

x4=0x-4=0 x=4x=4, atau

(x5)2=0\left(x-5\right)^2=0 x=5x=5 (berulang dua kali)

Jadi, ada lima titik penyebab nol yang berbeda di f(x)g(x)\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}. Meski tandanya adalah \ge, pembuat nol fungsi g(x)g\left(x\right) tetap harus dilambangkan dengan bulat kosong (bukan bulat penuh) karena g(x)0g\left(x\right)\ne0 agar terdefinisi. Tabel di bawah menunjukkan tanda perhitungan fungsi jika nilai di interval tersebut dimasukkan ke fungsi.

Garis bilangannya dapat diperhatikan di bawah. Karena tandanya adalah \ge, kita ambil daerah yang menghasilkan tanda positif.

Pembuktian:

Untuk rentang 2x0-2\le x\le0, kita uji untuk x=1x=-1 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

(11)25(1)(1+2)(14)(15)20\frac{\left(-1-1\right)^2\cdot5\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1+2\right)}{\left(-1-4\right)\left(-1-5\right)^2}\ge0

45(1)(1)(5)360\frac{4\cdot5\cdot\left(-1\right)\cdot\left(1\right)}{\left(-5\right)\cdot36}\ge0

455360\frac{4\cdot5}{5\cdot36}\ge0

190\frac{1}{9}\ge0 ... (3)

Karena hasil di ruas kiri positif, berarti rentang tersebut memang benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, karena pernyataan (3) sesuai, kita dapat menyimpulkan bahwa solusi di rentang ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah 2x0, x=1, -2\le x\le0,\ x=1,\ 4<x<5,4<x<5, atau x>5x>5.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Rasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Rasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal