Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2}\ge0$

Ditanya:

Rentang nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2}\ge0$ ... (1)

Tahap 1 hingga 3 sudah tidak perlu dilakukan karena bentuk pertidaksamaan (1) sudah sama dengan bentuk umum di atas.

Sekarang, kita cari pembuat nol dari kedua fungsi. Fungsinya adalah $f\left(x\right)=\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)$ dan $g\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2$.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $\left(x-1\right)^25x\left(x+2\right)=0$

$\left(x-1\right)^2=0$ ⇔ $x=1$ (berulang dua kali)

atau

$5x=0$ ⇔ $x=0$, atau

$x+2=0$ ⇔ $x=-2$

Setelah itu, kita cari juga pembuat nol di fungsi $g\left(x\right)$.

$g\left(x\right)=0$

⇔ $\left(x-4\right)\left(x-5\right)^2=0$

$x-4=0$ ⇔ $x=4$, atau

$\left(x-5\right)^2=0$ ⇔ $x=5$ (berulang dua kali)

Jadi, ada lima titik penyebab nol yang berbeda di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Meski tandanya adalah $\ge$, pembuat nol fungsi $g\left(x\right)$ tetap harus dilambangkan dengan bulat kosong (bukan bulat penuh) karena $g\left(x\right)\ne0$ agar terdefinisi. Tabel di bawah menunjukkan tanda perhitungan fungsi jika nilai di interval tersebut dimasukkan ke fungsi.

Garis bilangannya dapat diperhatikan di bawah. Karena tandanya adalah $\ge$, kita ambil daerah yang menghasilkan tanda positif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-2\le x\le0$, kita uji untuk $x=-1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{\left(-1-1\right)^2\cdot5\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1+2\right)}{\left(-1-4\right)\left(-1-5\right)^2}\ge0$

⇔ $\frac{4\cdot5\cdot\left(-1\right)\cdot\left(1\right)}{\left(-5\right)\cdot36}\ge0$

⇔ $\frac{4\cdot5}{5\cdot36}\ge0$

⇔ $\frac{1}{9}\ge0$ ... (3)

Karena hasil di ruas kiri positif, berarti rentang tersebut memang benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, karena pernyataan (3) sesuai, kita dapat menyimpulkan bahwa solusi di rentang ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah $-2\le x\le0,\ x=1,\$ $4<x<5,$ atau $x>5$.