Bank Soal Matematika SMA Aljabar Vektor

Diketahui:

Vektor $\vec{a}=\left(2,\ -4,\ -2\right)$ dan $\vec{b}=\left(2,\ -2,\ -1\right)$.

Ditanya:

Proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ ?

Jawab:

Rumus umum proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\vec{c}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|^2}\right)\vec{b}$

Perlu diingat bahwa perkalian skalar antara vektor $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$ dan $\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$ didefinisikan sebagai

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

sehingga diperoleh

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(2,\ -4,\ -2\right)\cdot\left(2,\ -2,\ -1\right)$

$\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=2.2+\left(-4\right)\left(-2\right)+\left(-2\right)\left(-1\right)$

$\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=4+8+2$

$\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=14$

Selain itu, secara umum sembarang vektor $\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$  memiliki panjang $\left|\vec{p}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ sehingga

$\left|\vec{b}\right|=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}$

$\Leftrightarrow\left|\vec{b}\right|=\sqrt{4+4+1}$

$\Leftrightarrow\left|\vec{b}\right|=\sqrt{9}$

$\Leftrightarrow\left|\vec{b}\right|=3$

Dengan demikian diperoleh

$\vec{c}=\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|^2}\right)\vec{b}$

$\Leftrightarrow\vec{c}=\frac{14}{3^2}(2, -2, -1)$

$\Leftrightarrow\vec{c}=\frac{14}{9}(2, -2, -1)$

$\Leftrightarrow\vec{c}=(\frac{28}{9},-\frac{28}{9},-\frac{14}{9})$