Latihan Matematika Wajib Kelas XII Aturan Perkalian dan Penjumlahan
# 8
Pilgan

Banyaknya bilangan 4-digit yang semua digitnya merupakan bilangan ganjil atau kelipatan 2.020 adalah ....

A

625

B

629

C

100

D

21

E

120

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan aturan perkalian dan aturan penjumlahan.

Aturan perkalian disebut juga aturan pengisian tempat (filling slot). Misalkan terdapat r tempat tersedia dengan ketentuan:

a. Terdapat n1n_1 cara mengisi tempat pertama,

b. Terdapat n2n_2 cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,

c. Terdapat n3n_3 cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi,

begitu seterusnya hingga terdapat nrn_r cara untuk mengisi tempat ke-r setelah tempat pertama, kedua, ..., ke-(r-1) terisi. Banyaknya cara mengisi r tempat tersebut adalah

n1×n2×nr1×nrn_1\times n_2\times\ldots n_{r-1}\times n_r


Berikut adalah gambaran mengenai aturan penjumlahan.

Misalkan suatu peristiwa terdiri dari nn tahap yang saling lepas dengan:

a. kejadian pertama dapat dilakukan dengan r1r_1 cara yang berbeda,

b. kejadian kedua dapat dilakukan dengan r2r_2 cara yang berbeda,

dan seterusnya hingga peristiwa ke-nn yang dapat dilakukan dengan rnr_n cara berbeda.

Banyaknya kejadian tersebut adalah r1 +r2 ++rnr_{1\ }+r_{2\ }+\ldots+r_n cara yang berbeda.


Perhatikan bahwa digit yang merupakan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, dan 9 yaitu ada sebanyak 5.

Karena yang diminta adalah bilangan 4-digit dan tidak mensyaratkan digitnya tidak boleh berulang, maka dalam hal ini kita asumsikan digit-digitnya boleh berulang.

Kejadian pertama, yaitu digit-digitnya merupakan bilangan ganjil. Banyaknya cara mengisi tempat ribuan ada 5, yaitu 1, 3, 5, 7, atau, 9. Selanjutnya, banyaknya cara mengisi tempat ratusan ada 5 sebab digitnya-digitnya boleh berulang. Begitu pula banyaknya cara untuk mengisi tempat puluhan dan satuan juga ada 5 sebab digit-digitnya boleh berulang.

Sehingga menurut aturan perkalian banyaknya bilangan 4-digit yang digit-digitnya merupakan bilangan ganjil adalah 5 ×5 ×5 ×5 = 6255\ \times5\ \times5\ \times5\ =\ 625 bilangan.

Kejadian kedua, yaitu bilangan yang merupakan kelipatan 2.020. Banyaknya bilangan 4-digit yang merupakan kelipatan 2.020 adalah 4 yaitu 2.020, 4.040, 6.060, 8.080.

Karena kejadian pertama dan kejadian kedua saling lepas, maka menurut aturan penjumlahan banyaknya bilangan 4-digit yang semua digitnya merupakan bilangan ganjil atau kelipatan 2.020 adalah 625+4=629625+4=629 bilangan.