Latihan Matematika Wajib Kelas XI Integral Fungsi Aljabar
# 2
Pilgan

Hasil dari 2πx3(x3)2x2dx\int\frac{2\pi x^3\left(x-3\right)^2}{x^2}dx adalah ....

A

12x44x3+9x2+C\frac{1}{2}x^4-4x^3+9x^2+C

B

2x44x3+3x2+C2x^4-4x^3+3x^2+C

C

π2x4π4x3+9πx2+C\frac{\pi}{2}x^4-\frac{\pi}{4}x^3+9\pi x^2+C

D

π2x44πx3+9πx2+C\frac{\pi}{2}x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C

E

2πx44πx3+9πx2+C2\pi x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C

Pembahasan:

Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C


Uraikan terlebih dahulu integral tersebut dengan sifat perkalian (ab)2=a22ab+b2\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2

2πx3(x3)2x2dx=2πx3(x22(x)(3)+32)x2dx\int\frac{2\pi x^3\left(x-3\right)^2}{x^2}dx=\int\frac{2\pi x^3\left(x^2-2\left(x\right)\left(3\right)+3^2\right)}{x^2}dx

=2πx3(x26x+9)x2dx=\int\frac{2\pi x^3\left(x^2-6x+9\right)}{x^2}dx

=2πx512πx4+18πx3x2dx=\int\frac{2\pi x^5-12\pi x^4+18\pi x^3}{x^2}dx


Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

[f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx

Maka menjadi:

2πx512πx4+18πx3x2dx=2πx5x2dx12πx4x2dx+18πx3x2dx\int\frac{2\pi x^5-12\pi x^4+18\pi x^3}{x^2}dx=\int\frac{2\pi x^5}{x^2}dx-\int\frac{12\pi x^4}{x^2}dx+\int\frac{18\pi x^3}{x^2}dx

Ingat bahwa 1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n}, sehingga menjadi:

2πx5x2dx12πx4x2dx+18πx3x2dx=2πx5(x2)dx12πx4(x2)dx+18πx3(x2)dx\int\frac{2\pi x^5}{x^2}dx-\int\frac{12\pi x^4}{x^2}dx+\int\frac{18\pi x^3}{x^2}dx=\int2\pi x^5\left(x^{-2}\right)dx-\int12\pi x^4\left(x^{-2}\right)dx+\int18\pi x^3\left(x^{-2}\right)dx

=2πx3dx12πx2dx+18πx1dx=\int2\pi x^3dx-\int12\pi x^2dx+\int18\pi x^1dx

=2π3+1x3+112π2+1x2+1+18π1+1x1+1+C=\frac{2\pi}{3+1}x^{3+1}-\frac{12\pi}{2+1}x^{2+1}+\frac{18\pi}{1+1}x^{1+1}+C

=2π4x412π3x3+18π2x2+C=\frac{2\pi}{4}x^4-\frac{12\pi}{3}x^3+\frac{18\pi}{2}x^2+C

=π2x44πx3+9πx2+C=\frac{\pi}{2}x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C


Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah π2x44πx3+9πx2+C\frac{\pi}{2}x^4-4\pi x^3+9\pi x^2+C