$\int\sqrt{3t^4-t^2}dt$

$=\int\sqrt{t^2(3t^2-1)}dt$; ingat bahwa $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$

$=\int\sqrt{t^2}\sqrt{3t^2-1}dt$

$=\int t\sqrt{3t^2-1}dt$

Misalkan:

$u=3t^2-1$

$\Leftrightarrow du=6t\ dt$

$\Leftrightarrow dt=\frac{du}{6t}$

Sehingga menjadi:

$\int\sqrt{3t^4-t^2}dt$

$=\int t\sqrt{3t^2-1}dt$

$=\int t\sqrt{u}(\frac{du}{6t})$; sederhanakan $t(\frac{du}{6t})=\frac{1}{6}du$

$=\int\frac{1}{6}\sqrt{u}du$; ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ maka:

$=\int\frac{1}{6}u^{\frac{1}{2}}du$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Sehingga didapatkan:

$\int\sqrt{3t^4-t^2}dt$

$=\int\frac{1}{6}u^{\frac{1}{2}}du$

$=\frac{1}{6(\frac{1}{2}+1)}u^{(\frac{1}{2}+1)}+C$

$=\frac{1}{6(\frac{3}{2})}u^{\frac{3}{2}}+C$

$=\frac{1}{9}u^{\frac{3}{2}}+C$

pangkat pecahan biasa dari $u^{\frac{3}{2}}$ diubah dalam pangkat pecahan campuran menjadi $u^{\frac{3}{2}}=u^{1\frac{1}{2}}=u^1u^{\frac{1}{2}}$ sehingga:

$=\frac{1}{9}u^1u^{\frac{1}{2}}+C$; ingat bahwa $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

$=\frac{1}{9}u\sqrt{u}+C$

$=\frac{1}{9}(3t^2-1)\sqrt{3t^2-1}+C$

Jadi, $\int\sqrt{3t^4-t^2}dt=\frac{1}{9}(3t^2-1)\sqrt{3t^2-1}+C$