Latihan Matematika Peminatan Kelas XII Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
# 1
Pilgan

Diberikan fungsi dengan . Titik balik maksimum dari fungsi adalah ....

A

B

C

D

E

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi f(x)=cos2x+11f\left(x\right)=\cos 2x+11 dengan 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

Ditanya:

Titik balik maksimum dari fungsi f(x)f(x) ?

Jawab:

Secara umum nilai stasioner adalah nilai f(x)f\left(x\right) ketika f(x)=0f'\left(x\right)=0. Dengan demikian untuk mencari nilai stasioner terlebih dahulu dicari pembuat nol untuk f(x)f'\left(x\right).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=cos(Ax±B)y=\cos (Ax\pm B) turunannya adalah y=Asin(Ax±B)y'=-A\sin (Ax\pm B)

Untuk fungsi y=ay=a dengan aa suatu konstanta turunannya adalah y=0y'=0

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi f(x)=cos2x+11f\left(x\right)=\cos 2x+11. Diperoleh

f(x)=2sin2xf'\left(x\right)=-2\sin 2x

dengan pembuat nol

f(x)=0f'\left(x\right)=0

2sin2x=0\Leftrightarrow-2\sin 2x=0

sin2x=0\Leftrightarrow\sin 2x=0

sin2x=sin0°\Leftrightarrow\sin 2x=\sin0\degree

sebab sin0=0\sin0=0

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan sin(ax+b)=sinθ\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta adalah ax+b=θ+k.360°ax+b=\theta+k.360\degree atau ax+b=(180°θ)+k.360°ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree sehingga untuk sin2x=sin0°\sin 2x=\sin 0\degree didapat

2x=0°+k.360°2x=0\degree+k.360\degree

x=k.180°\Leftrightarrow x=k.180\degree

untuk k=0k=0 maka x=0.180°=0°x=0.180\degree=0\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=1k=1 maka x=1.180°=180°x=1.180\degree=180\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=2k=2 maka x=2.180°=360°x=2.180\degree=360\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

atau

2x=180°0°+k.360°2x=180\degree-0\degree+k.360\degree

x=90°+k.180°\Leftrightarrow x=90\degree+k.180\degree

untuk k=0k=0 maka x=90°+0.180°=90°x=90\degree+0.180\degree=90\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=1k=1 maka x=90°+1.180°=270°x=90\degree+1.180\degree=270\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=2k=2 maka x=90°+2.180°=450°x=90\degree+2.180\degree=450\degree tidak memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

Artinya, pembuat nol dari f(x)f'\left(x\right) adalah x={0°, 90°, 180°, 270°, 360°}x=\left\{0\degree,\ 90\degree,\ 180\degree,\ 270\degree,\ 360\degree\right\}

Secara umum ada tiga kondisi untuk nilai stasioner fungsi f(x)f\left(x\right) untuk x=cx=c. Hal ini dapat diperhatikan dari tanda f(x)f'\left(x\right) disekitar x=cx=c.

  1. f(x)f\left(x\right) mempunyai nilai balik maksimum f(c)f\left(c\right) jika f(x)f'\left(x\right) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
  2. f(x)f\left(x\right) mempunyai nilai balik minimum f(c)f\left(c\right) jika f(x)f'\left(x\right) berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
  3. f(x)f\left(x\right) mempunyai titik belok horizontal pada cc jika f(x)f'\left(x\right) tidak berganti tanda saat melalui nol.

Selanjutnya akan diperhatikan tanda f(x)f'\left(x\right) disekitar x={0°, 90°, 180°, 270°, 360°}x=\left\{0\degree,\ 90\degree,\ 180\degree,\ 270\degree,\ 360\degree\right\}.

Untuk subinterval 0°x<90°0\degree\le x<90\degree dipilih x=45°x=45\degree didapat

f(x)=2sin(2.45°)=2sin(90°)2.1f'\left(x\right)=-2\sin (2.45\degree)=-2\sin (90\degree)-2.1 (negatif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Yang diminta pada soal adalah titik balik maksimum, yaitu f(x)f'\left(x\right) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. Hal tersebut terjadi pada x=180°x=180\degree dengan

f(180°)=cos(2.180°)+11f\left(180\degree\right)=\cos (2.180\degree)+11

f(180°)=cos(360°)+11\Leftrightarrow f\left(180\degree\right)=\cos (360\degree)+11

f(180°)=1+11\Leftrightarrow f\left(180\degree\right)=1+11

f(180°)=12\Leftrightarrow f\left(180\degree\right)=12

Jadi titik balik maksimum dari fungsi f(x)f(x) adalah (180°, 12)(180\degree,\ 12)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10