Diketahui:
Fungsi f(x)=cos2x+11 dengan 0°≤x≤360°
Ditanya:
Titik balik maksimum dari fungsi f(x) ?
Jawab:
Secara umum nilai stasioner adalah nilai f(x) ketika f′(x)=0. Dengan demikian untuk mencari nilai stasioner terlebih dahulu dicari pembuat nol untuk f′(x).
Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:
Untuk fungsi y=cos(Ax±B) turunannya adalah y′=−Asin(Ax±B)
Untuk fungsi y=a dengan a suatu konstanta turunannya adalah y′=0
Untuk fungsi y=f(x)+g(x) turunannya adalah y′=f′(x)+g′(x)
Pada soal diketahui fungsi f(x)=cos2x+11. Diperoleh
f′(x)=−2sin2x
dengan pembuat nol
f′(x)=0
⇔−2sin2x=0
⇔sin2x=0
⇔sin2x=sin0°
sebab sin0=0
Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan sin(ax+b)=sinθ adalah ax+b=θ+k.360° atau ax+b=(180°−θ)+k.360° sehingga untuk sin2x=sin0° didapat
2x=0°+k.360°
⇔x=k.180°
untuk k=0 maka x=0.180°=0° memenuhi 0°≤x≤360°
untuk k=1 maka x=1.180°=180° memenuhi 0°≤x≤360°
untuk k=2 maka x=2.180°=360° memenuhi 0°≤x≤360°
atau
2x=180°−0°+k.360°
⇔x=90°+k.180°
untuk k=0 maka x=90°+0.180°=90° memenuhi 0°≤x≤360°
untuk k=1 maka x=90°+1.180°=270° memenuhi 0°≤x≤360°
untuk k=2 maka x=90°+2.180°=450° tidak memenuhi 0°≤x≤360°
Artinya, pembuat nol dari f′(x) adalah x={0°, 90°, 180°, 270°, 360°}
Secara umum ada tiga kondisi untuk nilai stasioner fungsi f(x) untuk x=c. Hal ini dapat diperhatikan dari tanda f′(x) disekitar x=c.
- f(x) mempunyai nilai balik maksimum f(c) jika f′(x) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
- f(x) mempunyai nilai balik minimum f(c) jika f′(x) berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
- f(x) mempunyai titik belok horizontal pada c jika f′(x) tidak berganti tanda saat melalui nol.
Selanjutnya akan diperhatikan tanda f′(x) disekitar x={0°, 90°, 180°, 270°, 360°}.
Untuk subinterval 0°≤x<90° dipilih x=45° didapat
f′(x)=−2sin(2.45°)=−2sin(90°)−2.1 (negatif).
Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Yang diminta pada soal adalah titik balik maksimum, yaitu f′(x) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. Hal tersebut terjadi pada x=180° dengan
f(180°)=cos(2.180°)+11
⇔f(180°)=cos(360°)+11
⇔f(180°)=1+11
⇔f(180°)=12
Jadi titik balik maksimum dari fungsi f(x) adalah (180°, 12)