Contoh Soal

Dimensi Tiga (Geometri Ruang) – Matematika Wajib SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

Daftar
Daftar untuk membagikan
    1.

    Berikut ini yang bukan merupakan kedudukan garis dan bidang dalam ruang adalah ....

    A

    berpotongan

    B

    berpotongan tegak lurus

    C

    sejajar

    D

    berimpit

    E

    lurus

    Pembahasan:

    Kedudukan garis dan bidang dalam ruang adalah

    a. Berpotongan.

    Suatu garis dikatakan berpotongan dengan sebuah bidang jika terdapat tepat satu titik persekutuan.

    Berikut ilustrasinya

    b. Berpotongan tegak lurus.

    Suatu garis dikatakan berpotongan tegak lurus dengan sebuah bidang jika terdapat tepat satu titik persekutuan dan garis tersebut tegak lurus terhadap bidang.

    Berikut ilustrasinya

    c. Sejajar.

    Suatu garis dikatakan sejajar dengan sebuah bidang jika tidak memiliki titik persekutuan.

    Berikut ilustrasinya.

    d. Berimpit.

    Suatu garis dikatakan berimpit dengan sebuah bidang jika garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang tersebut.

    Berikut ilustrasinya.

    Jadi, yang bukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang adalah lurus.

    2.

    Diketahui limas segiempat T.ABCDT.ABCD dengan panjang AB=BC = 6 2AB=BC\ =\ 6\ \sqrt{2} cm dan tinggi 88 cm. Jarak garis ADAD dengan garis BCBC adalah ... cm.

    A

    66

    B

    626\sqrt{2}

    C

    1212

    D

    1010

    E

    88

    Pembahasan:

    Diketahui:

    AB = BC = 62AB\ =\ BC\ =\ 6\sqrt{2} cm

    t = 8t\ =\ 8 cm

    Ditanya:

    Jarak garis ADAD dengan garis BCBC

    DIjawab:

    Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.

    Perhatikan gambar berikut.

    Perhatikan bahwa jarak garis ADAD dengan garis BCBC sama dengan panjang ruas garis ABAB sebab garis ABAB tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.

    Dengan demikian jarak garis ADAD dengan garis BCBC adalah 626\sqrt{2} cm.

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    Diketahui kubus ABCD.EFGHABCD.EFGH. Bidang yang sejajar dengan garis BCBC adalah ....

    A

    EDCFEDCF

    B

    DCGHDCGH

    C

    BDHFBDHF

    D

    ADHEADHE

    E

    ACGEACGE

    Pembahasan:

    Perhatikan gambar balok berikut.

    Perhatikan bahwa garis BCBC sejajar dengan garis ADAD dan garis AD AD\ berada di bidang ADHEADHE, sehingga BCBC sejajar dengan bidang ADHEADHE.

    4.

    Diketahui prisma segilima beraturan ABCDE.FGHIJABCDE.FGHIJ. Garis yang sejajar dengan garis ABAB adalah ....

    A

    ACAC

    B

    BCBC

    C

    HIHI

    D

    FGFG

    E

    BDBD

    Pembahasan:

    Dua buah garis dikatakan sejajar jika terletak pada suatu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun bidang tersebut diperpanjang tanpa batas.

    Perhatikan gambar limas segilima berikut.


    Garis ABAB sejajar dengan garis FGFG sebab bidang ABCDE\ ABCDE dan FGHIJFGHIJ tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas.

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Diberikan kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Sudut α\alpha adalah sudut yang terbentuk antara AFHAFH dan BDEBDE. Nilai sinus 12α\frac{1}{2}\alpha adalah ....

    A

    12\frac{1}{2}

    B

    123\frac{1}{2}\sqrt{3}

    C

    132\frac{1}{3}\sqrt{2}

    D

    3\sqrt{3}

    E

    133\frac{1}{3}\sqrt{3}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    r=4 cm r=4\text{ cm}\

    Ditanya:

    Nilai sinus 12α\frac{1}{2}\alpha yang terbentuk antara AFHAFH dan BDEBDE.

    Dijawab:

    Bidang AFHAFH dan BDEBDE berpotongan pada sebuah garis tumpuan, dimana kedua ujung garis tersebut merupakan titik potong diagonal sisi ADHEADHE dan ABFEABFE. Sudut antara kedua bidang dapat diketahui dengan menarik garis yang melalui masing-masing bidang ADHEADHE dan ABFEABFE, dan tegak lurus terhadap garis tumpuan. Garis tersebut adalah PAPA dan POPO. Sehingga, sudut antara kedua bidang dapat diwakili oleh APO\angle APO .

    • Panjang AOAO

    AO=12AB2+BC2AO=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}

    =1242+42=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+4^2}

    =1216+16=\frac{1}{2}\sqrt{16+16}

    =1232=\frac{1}{2}\sqrt{32}

    =12×42=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}

    =22 cm=2\sqrt{2}\ \text{cm}

    • Panjang PAPA == POPO

    Titik PP berada di garis tumpuan yang merupakan terdiri atas titik-titik tengah diagonal sisi kubus, sehingga panjang PAPA adalah setengah dari tinggi segitiga AFHAFH. Begitu juga dengan POPO yang panjang ruasnya setengah dari tinggi segitiga BDEBDE.

    PA=12AF2(12HF)2PA=\frac{1}{2}\sqrt{AF^2-\left(\frac{1}{2}HF\right)^2}

    =12(42)2(12(42))2=\frac{1}{2}\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}(4\sqrt{2}\right))^2}

    =12328=\frac{1}{2}\sqrt{32-8}

    =1224=\frac{1}{2}\sqrt{24}

    =124×6=\frac{1}{2}\sqrt{4\times6}

    =12×26=\frac{1}{2}\times2\sqrt{6}

    =6 cm=\sqrt{6}\ \text{cm}

    • Sudut α\alpha

    Sudut xx adalah 12α\frac{1}{2}\alpha.

    sinx=26\sin x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}

    =26×66=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}

    =133=\frac{1}{3}\sqrt{3}

    Jadi, nilai sinus 12α\frac{1}{2}\alpha yang terbentuk antara AFHAFH dan BDEBDE adalah 133\frac{1}{3}\sqrt{3}.

    6.

    Gambar berikut menunjukkan sebuah gedung yang berukuran 4040 m ×203\times20\sqrt{3} m. Tinggi langit-langit dari lantai 2525 m, tinggi atap (MN)\left(MN\right) dari lantai 3535 m.

    Jika MN=ABMN=AB dan FN=NGFN=NG , besar sudut antara atap dan langit-langit adalah ....

    A

    30o30^o

    B

    45o45^o

    C

    60o60^o

    D

    75o75^o

    E

    90o90^o

    Pembahasan:

    Perhatikan gambar berikut.

    Perhatikan NFG\triangle NFG berikut.

    Besar sudut antara atap dan langit-langit sama dengan besar NFG\angle NFG.

    Perhatikan bahwa tinggi NFG\triangle NFG adalah 3525=1035-25=10 cm.

    Untuk mencari besar NFG\angle NFG dapat digunakan tangen sebab panjang yang diketahui adalah panjang garis di depan dan samping sudut yang dicari.

    tanNFG = depansamping=10103=133\tan\angle NFG\ =\ \frac{depan}{samping}= \frac{10}{10\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}

    Sehingga NFG = 30o\angle NFG\ =\ 30^o sebab tan30o = 133\tan30^o\ =\ \frac{1}{3}\sqrt{3}

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Diketahui kubus ABCD.EFGHABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis CHCH dan bidang BDHFBDHF adalah ....

    A

    30˚

    B

    90˚

    C

    60˚

    D

    45˚

    E

    50˚

    Pembahasan:

    Sudut yang dibentuk oleh garis CHCH dan bidang BDHFBDHF dapat diketahui dengan memproyeksikan garis CHCH ke bidang BDHFBDHF, yaitu ruas HCHC'. Besar sudutnya diwakili oleh CHC\angle CHC'. Asumsi rusuk kubus adalah 1.

    • Panjang CHCH

    CH=CG2+GH2CH=\sqrt{CG^2+GH^2}

    =12+12=\sqrt{1^2+1^2}

    =1+1=\sqrt{1+1}

    =2=\sqrt{2}

    • Panjang CCCC'

    CC=12AB2+BC2CC'=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}

    =1212+12=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}

    =121+1=\frac{1}{2}\sqrt{1+1}

    =122=\frac{1}{2}\sqrt{2}

    • Besar CHC\angle CHC'

    sinx=CCCH=1222=1222×22=12\sin x=\frac{CC'}{CH}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

    x=30˚x=30˚

    Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis CHCH dan bidang BDHFBDHF adalah 30˚.

    8.

    Diketahui limas T.PQRST.PQRS dengan panjang PQ = 12 PQ\ =\ 12\ \text{} cm, QR = 16QR\ =\ 16 cm, dan tinggi limas tersebut adalah 2424 cm. Jarak titik PP dengan garis TRTR adalah ... cm.

    A

    1761317\frac{6}{13}

    B

    171217\frac{1}{2}

    C

    17 61517\ \frac{6}{15}

    D

    181218\frac{1}{2}

    E

    1861318\frac{6}{13}

    Pembahasan:

    Diketahui :

    PQ = 12 PQ\ =\ 12\ \text{} cm

    QR = 16QR\ =\ 16 cm

    t=24t=24 cm

    Ditanya :

    Jarak titik PP dengan garis TRTR

    Dijawab :

    Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis dari titik yang tegak lurus dengan garis.

    Perhatikan gambar berikut.

    Pertama, dicari terlebih dahulu panjang PRPR dengan mengaplikasikan teorema pythagoras.pada PQR\triangle PQR

    PR=PQ2 +Q2 PR=\sqrt{PQ^{2\ }+Q^2}\

    =122+162=\sqrt{12^2+16^2}

    =144+256=\sqrt{144+256}

    =400=\sqrt{400}

    =20=20 cm

    Karena OO titik tengah dari PRPR, maka OR = PR2= 202=10OR\ =\ \frac{PR}{2}=\ \frac{20}{2}=10 cm.

    Selanjutnya perhatikan TOR\triangle TOR siku-siku di OO. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh

    TR = OR2 +OT2TR\ =\ \sqrt{OR^{2\ }+OT^2}

    =102+242=\sqrt{10^2+24^2}

    =100+576=\sqrt{100+576}

    =676=\sqrt{676}

    =26=26 cm

    Perhatikan PTR\triangle PTR berikut.

    Jarak titik PP ke garis TRTR sama dengan panjang ruas garis PWPW. Untuk mencari PWPW digunakan rumus dari luas segitiga berikut.

    12×PR ×OT = 12×TR ×PW\frac{1}{2}\times PR\ \times OT\ =\ \frac{1}{2}\times TR\ \times PW

    20 ×24 = 26×PW20\ \times24\ =\ 26\times PW

    PW = 20 ×2426=48026=18 613PW\ =\ \frac{20\ \times24}{26}=\frac{480}{26}=18\ \frac{6}{13} cm


    Jadi, jarak titik PP ke garis TRTR adalah 18 61318\ \frac{6}{13} cm.

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Diketahui kubus ABCD.EFGHABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 20 cm. Titik RR dan SS masing-masing adalah titik tengah ADAD dan ABAB, sedangkan titik OO adalah titik potong diagonal bidang EFGHEFGH. Cosinus sudut antara RSORSO dan alas ABCDABCD adalah ....

    A

    13\frac{1}{3}

    B

    12\frac{1}{2}

    C

    123\frac{1}{2}\sqrt{3}

    D

    122\frac{1}{2}\sqrt{2}

    E

    132\frac{1}{3}\sqrt{2}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    r=20 cmr=20\ \text{cm}

    Titik RR titik tengah ADAD.

    Titik SS titik tengah ABAB.

    Titik OO adalah titik potong diagonal bidang EFGHEFGH.

    Ditanya:

    Cosinus sudut antara RSORSO dan alas ABCDABCD.

    Dijawab:

    Garis RSRS adalah garis perpotongan bidang RSORSO dan alas ABCDABCD. Sudut antara kedua bidang dapat diperoleh dengan menarik garis yang melalui bidang dan tegak lurus terhadap garis perpotongan tersebut. Garis OPOP adalah garis yang melalui bidang RSORSO dan tegak lurus garis RSRS. Garis PQPQ adalah garis yang melalui bidang ABCDABCD dan tegak lurus garis RSRS. Sehingga, besar sudut antara bidang RSORSO dan alas ABCDABCD dapat diwakili oleh OPQ\angle OPQ.

    • Panjang PQPQ

    PQ=14ACPQ=\frac{1}{4}AC

    PQ=14AB2+BC2PQ=\frac{1}{4}\sqrt{AB^2+BC^2}

    =14202+202=\frac{1}{4}\sqrt{20^2+20^2}

    =14400+400=\frac{1}{4}\sqrt{400+400}

    =14800=\frac{1}{4}\sqrt{800}

    =14×202=\frac{1}{4}\times20\sqrt{2}

    =52 cm=5\sqrt{2}\ \text{cm}

    • Panjang OPOP

    OP=OQ2+PQ2OP=\sqrt{OQ^2+PQ^2}

    =202+(52)2=\sqrt{20^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2}

    =400+50=\sqrt{400+50}

    =450=\sqrt{450}

    =152 cm=15\sqrt{2}\ \text{cm}

    • Cosinus OPQ\angle OPQ

    cosx=52152\cos x=\frac{5\sqrt{2}}{15\sqrt{2}}

    cosx=13\cos x=\frac{1}{3}

    Jadi, cosinus sudut antara RSORSO dan alas ABCDABCD adalah 13\frac{1}{3}.

    10.

    Kubus ABCD.RSTUABCD.RSTU memiliki panjang rusuk 122 cm.\frac{1}{2}\sqrt{2}\ \text{cm.} Garis ACAC dengan STST dan garis DRDR dengan UCUC adalah pasangan garis yang saling bersilangan. Selisih besar sudut yang terbentuk antara keduanya adalah ....

    A

    25˚

    B

    50˚

    C

    30˚

    D

    35˚

    E

    15˚

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Rusuk = 122 cm\frac{1}{2}\sqrt{2}\ \text{cm}.

    Ditanya:

    Selisih besar sudut yang terbentuk antara garis ACAC dan STST dengan garis DRDR dan UCUC.

    Dijawab:

    • Sudut antara garis ACAC dan STST

    Garis BCBC adalah garis yang sejajar dengan STST dan berpotongan dengan ACAC di titik CC, sehingga sudut antara garis ACAC dan STST dapat diwakili oleh ACB\angle ACB.

    Segitiga ABCABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut siku-siku BB memiliki nilai 90˚. Sudut AA dan sudut CC sama besar, sehingga:

    C=(18090)2=902=45°\angle C=\frac{\left(180-90\right)}{2}=\frac{90}{2}=45\degree

    • Sudut antara garis DRDR dan UCUC

    Garis BRBR adalah garis yang sejajar dengan UCUC dan berpotongan dengan DRDR di titik RR, sehingga sudut antara garis DRDR dan UCUC dapat diwakili oleh DRB\angle DRB.

    Segitiga DRBDRB adalah segitiga sama sisi, sehingga setiap sudut besarnya 60˚.

    • Selisih ACB\angle ACB dengan DRB\angle DRB

    =DRBACB=\angle DRB-\angle ACB

    =60˚ 45˚=60˚-\ 45˚

    =15˚=15˚

    Jadi, selisih besar sudut yang terbentuk antara garis ACAC dan STST dengan garis DRDR dan UCUC adalah 15˚.

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis