Contoh Soal

Integral Fungsi Aljabar – Matematika Wajib SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

    1.

    abxndx=...\int \frac{a}{bx^n}dx=...

    A

    a(n1)bxn1+C\frac{a(n-1)}{bx^{n-1}}+C

    B

    ab(1n)xn1+C\frac{a}{b(1-n)x^{n-1}}+C

    C

    anbxn1+C\frac{an}{bx^{n-1}}+C

    D

    abnxn+1+C\frac{a}{bnx^{n+1}}+C

    E

    abnx1n+C\frac{a}{bnx^{1-n}}+C

    Pembahasan:

    Ingat bahwa 1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n} maka:

    abxndx=abxndx\int\frac{a}{bx^n}dx=\int\frac{a}{b}x^{-n}dx


    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

    Sehingga didapatkan:

    abxndx\int\frac{a}{bx^n}dx

    =abxndx=\int\frac{a}{b}x^{-n}dx

    =ab(n+1)x(n+1)+C=\frac{a}{b(-n+1)}x^{(-n+1)}+C; ingat bahwa xn=1xnx^n=\frac{1}{x^{-n}} maka:

    =ab(n+1)x(n+1)+C=\frac{a}{b(-n+1)x^{-(-n+1)}}+C; dikombinasikan (n+1)=(1n)\left(-n+1\right)=\left(1-n\right) maka:

    =ab(1n)x(n+1)+C=\frac{a}{b(1-n)x^{-(-n+1)}}+C

    =ab(1n)xn1+C=\frac{a}{b(1-n)x^{n-1}}+C

    Jadi, abxndx=ab(1n)xn1+C\int\frac{a}{bx^n}dx=\frac{a}{b(1-n)x^{n-1}}+C

    2.

    (4y3+3y2y+2)dy=....\int(4y^3+3y^2-y+2)dy=....

    A

    y4+y312y2+2y+Cy^{4}+y^{3}-\frac{1}{2}y^{2}+2y+C

    B

    y4y3+12y2+2y+Cy^{4}-y^{3}+\frac{1}{2}y^{2}+2y+C

    C

    43y4+32y312y2+2y+C\frac{4}{3}y^{4}+\frac{3}{2}y^{3}-\frac{1}{2}y^{2}+2y+C

    D

    43y4+32y3y2+2y+C\frac{4}{3}y^{4}+\frac{3}{2}y^{3}-y^{2}+2y+C

    E

    y4+y3y2+2y+Cy^{4}+y^{3}-y^{2}+2y+C

    Pembahasan:

    Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

    [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx

    dan adx=ax+C\int adx=ax+C

    Maka menjadi:

    (4y3+3y2y+2)dy\int(4y^3+3y^2-y+2)dy

    =4y3dy+3y2dyydy+2dy=\int4y^3dy+\int3y^2dy-\int ydy+\int2dy


    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

    Sehingga didapatkan:

    (4y3+3y2y+2)dy\int(4y^3+3y^2-y+2)dy

    =4y3dy+3y2dyydy+2dy=\int4y^3dy+\int3y^2dy-\int ydy+\int2dy

    =4(3+1)y(3+1)+3(2+1)y(2+1)1(1+1)y(1+1)+2y+C=\frac{4}{(3+1)}y^{(3+1)}+\frac{3}{(2+1)}y^{(2+1)}-\frac{1}{(1+1)}y^{(1+1)}+2y+C

    =44y4+33y312y2+2y+C=\frac{4}{4}y^4+\frac{3}{3}y^3-\frac{1}{2}y^2+2y+C

    =y4+y312y2+2y+C=y^4+y^3-\frac{1}{2}y^2+2y+C

    Jadi, (4y3+3y2y+2)dy=y4+y312y2+2y+C\int(4y^3+3y^2-y+2)dy=y^4+y^3-\frac{1}{2}y^2+2y+C

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    4x7dx=....\int4x^7dx=....

    A

    18x8+C\frac{1}{8}x^8+C

    B

    47x7+C\frac{4}{7}x^7+C

    C

    12x8+C\frac{1}{2}x^8+C

    D

    14x8+C\frac{1}{4}x^8+C

    E

    12x7+C\frac{1}{2}x^7+C

    Pembahasan:

    Pada integral di atas, n=7n=7

    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C


    4x7dx=47+1x7+1+C\int4x^7dx=\frac{4}{7+1}x^{7+1}+C

    =48x8+C=\frac{4}{8}x^8+C

    =12x8+C=\frac{1}{2}x^8+C


    Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah 12x8+C\frac{1}{2}x^8+C

    4.

    Hasil dari 2x2x3+6dx\int\frac{2x^2}{\sqrt{x^3+6}}dx adalah ....

    A

    2x2x3+6+C2x^2\sqrt{x^3+6}+C

    B

    23x3+6+C\frac{2}{3}\sqrt{x^3+6}+C

    C

    43x3+6+C\frac{4}{3}\sqrt{x^3+6}+C

    D

    23xx3+6+C\frac{2}{3}x\sqrt{x^3+6}+C

    E

    43xx3+6+C\frac{4}{3}x\sqrt{x^3+6}+C

    Pembahasan:

    Misalkan u=x3+6u=x^3+6 , maka du=3x2dxdu=3x^2 dx dx=du3x2\Leftrightarrow dx=\frac{du}{3x^2}

    Sehingga menjadi:

    2x2x3+6dx=21x3+6x2dx\int\frac{2x^2}{\sqrt{x^3+6}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{x^3+6}}x^2dx

    =21ux2du3x2=2\int\frac{1}{\sqrt{u}}x^2\frac{du}{3x^2}

    =21udu3=2\int\frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{3}, ingat bahwa x=x12 \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2\ }} dan 1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n}

    =23u12du=\frac{2}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}du, untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

    =23(112+1u12+1)+C=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}u^{-\frac{1}{2}+1}\right)+C

    =23(112+22u12+22)+C=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}u^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\right)+C

    =23(112u12)+C=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}u^{\frac{1}{2}}\right)+C

    =23(2u12)+C=\frac{2}{3}\left(2u^{\frac{1}{2}}\right)+C

    =43u+C=\frac{4}{3}\sqrt{u}+C

    =43x3+6+C=\frac{4}{3}\sqrt{x^3+6}+C


    Jadi, hasil integral substitusi tersebut adalah 43x3+6+C\frac{4}{3}\sqrt{x^3+6}+C

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    6(x51x2)dx=...\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx=...

    A

    6x6+6x+C6x^6+\frac{6}{x}+C

    B

    6x6+x+C6x^6+x+C

    C

    x6+6x+Cx^6+\frac{6}{x}+C

    D

    x66x+Cx^6-\frac{6}{x}+C

    E

    x6+1x+Cx^6+\frac{1}{x}+C

    Pembahasan:

    Ingat bahwa 1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n} maka:

    6(x51x2)dx\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx

    =(6x561x2)dx=\int(6x^5-6\frac{1}{x^2})dx

    =(6x56x2)dx=\int(6x^5-6x^{-2})dx


    Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

    [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx

    Maka menjadi:

    (6x56x2)dx\int(6x^5-6x^{-2})dx

    =6x5dx6x2dx=\int6x^5dx-\int6x^{-2}dx

    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

    Sehingga didapatkan:

    6(x51x2)dx\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx

    =6x5dx6x2dx=\int6x^5dx-\int6x^{-2}dx

    =6(5+1)x(5+1)6(2+1)x(2+1)+C=\frac{6}{(5+1)}x^{(5+1)}-\frac{6}{(-2+1)}x^{(-2+1)}+C

    =66x66(1)x1+C=\frac{6}{6}x^6-\frac{6}{(-1)}x^{-1}+C

    =x6+6x1+C=x^6+6x^{-1}+C; ingat bahwa xn=1xnx^{-n}=\frac{1}{x^n}

    =x6+6x+C=x^6+\frac{6}{x}+C


    Jadi, 6(x51x2)dx=x6+6x+C\int6(x^5-\frac{1}{x^2})dx=x^6+\frac{6}{x}+C

    6.

    Sebuah kurva y=f(x)y=f\left(x\right) melalui titik (1,5)\left(1,5\right). Jika gradien garis singgung kurva tersebut dydx=4x3\frac{dy}{dx}=4x-3, maka persamaan kurvanya adalah ....

    A

    y=2x23x+6y=2x^2-3x+6

    B

    y=2x23x6y=2x^2-3x-6

    C

    y=2x23x+4y=2x^2-3x+4

    D

    y=2x23x4y=2x^2-3x-4

    E

    y=2x23x+5y=2x^2-3x+5

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Gradien garis singgung kurva tersebut adalah dydx=4x3\frac{dy}{dx}=4x-3

    Melalui titik (1,5)\left(1,5\right)

    Ditanya:

    Persamaan kurva y=f(x)y=f\left(x\right)

    Dijawab:

    dydx=4x3\frac{dy}{dx}=4x-3

    dy=(4x3)dx\Leftrightarrow dy=(4x-3)dx

    dy=(4x3)dx\Leftrightarrow\int dy=\int(4x-3)dx

    y=(4x3)dx\Leftrightarrow y=\int(4x-3)dx


    Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

    [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx

    Maka menjadi:

    y=(4x3)dxy=\int(4x-3)dx

    y=4xdx3dx\Leftrightarrow y=\int4xdx-\int3dx


    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C dan adx=ax+C\int adx=ax+C

    Sehingga didapatkan:

    y=4xdx3dx y=\int4xdx-\int3dx\

    y=4(1+1)x(1+1)3x+C\Leftrightarrow y=\frac{4}{(1+1)}x^{(1+1)}-3x+C

    y=42x23x+C\Leftrightarrow y=\frac{4}{2}x^2-3x+C

    y=2x23x+C\Leftrightarrow y=2x^2-3x+C

    Kurva melalui titik (1,5)(1,5) artinya x=1x=1 dan y=5y=5, maka akan diperoleh konstanta CC sebagai berikut:

    y=2x23x+Cy=2x^2-3x+C

    5=2(1)23(1)+C\Leftrightarrow5=2(1)^2-3(1)+C

    5=23+C\Leftrightarrow5=2-3+C

    5=1+C\Leftrightarrow5=-1+C

    5+1=C\Leftrightarrow5+1=C

    C=6\Leftrightarrow C=6

    Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y=2x23x+6y=2x^2-3x+6

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Suatu benda yang sedang bergerak mengalami percepatan yang membentuk persamaan a(t)=(2t1)2a\left(t\right)=\left(2t-1\right)^2 meter/detik2. Jika kecepatan awal benda tersebut adalah 2 meter/detik, maka setelah 3 detik kecepatan benda tersebut menjadi ....

    A

    22,83 meter/detik

    B

    22,33 meter/detik

    C

    20,83 meter/detik

    D

    20,33 meter/detik

    E

    22,30 meter/detik

    Pembahasan:

    Hubungan fungsi v(t)v\left(t\right) dan a(t)a\left(t\right) adalah sebagai berikut.

    v(t)=a(t)dtv\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt

    Karena benda mempunyai kecepatan awal 2 meter/detik, maka persamaannya menjadi:

    v(t)=v(0)+a(t)dtv\left(t\right)=v\left(0\right)+\int a\left(t\right)dt

    =2+(2t1)2dt=2+\int\left(2t-1\right)^2dt, untuk f(x)=(ax+b)n, n1f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^n,\ n\ne-1 maka (ax+b)ndx=1a(n+1)(ax+b)n+1+C\int\left(ax+b\right)^ndx=\frac{1}{a\left(n+1\right)}\left(ax+b\right)^{n+1}+C

    =2+(12(2+1)(2t1)2+1)=2+\left(\frac{1}{2\left(2+1\right)}\left(2t-1\right)^{2+1}\right)

    =2+(16(2t1)3)=2+\left(\frac{1}{6}\left(2t-1\right)^3\right)


    Setelah 3 detik, kecepatannya menjadi:

    v(3)=2+(16(2(3)1)3)v\left(3\right)=2+\left(\frac{1}{6}\left(2\left(3\right)-1\right)^3\right)

    =2+(16(5)3)=2+\left(\frac{1}{6}\left(5\right)^3\right)

    =2+(16(125))=2+\left(\frac{1}{6}\left(125\right)\right)

    =2+20,83=2+20,83

    =22,83=22,83


    Jadi, kecepatan benda tersebut menjadi 22,83 meter/detik

    8.

    2xdx=....\int2\sqrt{x}dx=....

    A

    12x+C\frac{1}{2}\sqrt{x}+C

    B

    43xx+C\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C

    C

    34x+C\frac{3}{4}\sqrt{x}+C

    D

    43x+C\frac{4}{3}x+C

    E

    4xx+C{4}x\sqrt{x}+C

    Pembahasan:

    1) Uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan integral perkalian skalar

    k f(x)dx=kf(x)dx\int k\ f\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx, untuk setiap bilangan real kk

    2xdx=2xdx\int2\sqrt{x}dx=2\int\sqrt{x}dx


    2) Mengubah bentuk akar ke bentuk eksponen (pangkat) dengan menggunakan sifat x=x12\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

    2xdx=2(x12)dx2\int\sqrt{x}dx=2\int\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx


    3) Nilai n=12n=\frac{1}{2}

    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

    2(x12)dx=2(112+1x12+1)+C2\int\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx=2\left(\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}\right)+C

    =2(112+22x12+22)+C=2\left(\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\right)+C

    =2(132x32)+C=2\left(\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}\right)+C

    =2(23x32)+C=2\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)+C, ingat bahwa x=x12\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

    =2(23(x22)(x12))+C=2\left(\frac{2}{3}\left(x^{\frac{2}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}\right)\right)+C

    =2(23xx)+C=2\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)+C

    =43xx+C=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C


    Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah 43xx+C\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    6x5xx3dx=...\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx=...

    A

    2x3+1x+C2x^3+\frac{1}{x}+C

    B

    2x31x+C2x^3-\frac{1}{x}+C

    C

    x3+1x+Cx^3+\frac{1}{x}+C

    D

    x31x+Cx^3-\frac{1}{x}+C

    E

    2x3x+C2x^3-x+C

    Pembahasan:

    Ingat bahwa a±bc=ac±bc\frac{a\pm b}{c}=\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c} sehingga:

    6x5xx3dx=(6x5x3xx3)dx\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx=\int(\frac{6x^5}{x^3}-\frac{x}{x^3})dx

    Ingat bahwa xaxb=xab\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b} maka:

    (6x5x3xx3)dx\int(\frac{6x^5}{x^3}-\frac{x}{x^3})dx

    =(6x(53)x(13))dx=\int(6x^{(5-3)}-x^{(1-3)})dx

    =(6x2x2)dx=\int(6x^2-x^{-2})dx


    Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

    [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx

    Maka menjadi:

    (6x2x2)dx=6x2dxx2dx\int(6x^2-x^{-2})dx=\int6x^2dx-\int x^{-2}dx


    Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

    axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C

    Maka didapatkan:

    6x5xx3dx\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx

    =6x2dxx2dx=\int6x^2dx-\int x^{-2}dx

    =6(2+1)x(2+1)1(2+1)x(2+1)+C=\frac{6}{(2+1)}x^{(2+1)}-\frac{1}{(-2+1)}x^{(-2+1)}+C

    =63x31(1)x1+C=\frac{6}{3}x^3-\frac{1}{(-1)}x^{-1}+C

    =2x3+x1+C=2x^3+x^{-1}+C; ingat bahwa xn=1xnx^{-n}=\frac{1}{x^n}

    =2x3+1x+C=2x^3+\frac{1}{x}+C

    Jadi, 6x5xx3dx=2x3+1x+C\int\frac{6x^5-x}{x^3}dx=2x^3+\frac{1}{x}+C

    10.

    (1x)2dx=...\int(1-x)^2 dx=...

    A

    3(1x)3+C3(1-x)^{3}+C

    B

    13(1x)3+C\frac{1}{3}(1-x)^{3}+C

    C

    13(1x)3+C-\frac{1}{3}(1-x)^{3}+C

    D

    (1x)3+C(1-x)^{3}+C

    E

    (1x)3+C-(1-x)^{3}+C

    Pembahasan:

    Untuk f(x)=(ax+b)n, n1f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^n,\ n\ne-1 maka:

    (ax+b)ndx=1a(n+1)(ax+b)n+1+C\int\left(ax+b\right)^ndx=\frac{1}{a\left(n+1\right)}\left(ax+b\right)^{n+1}+C

    Dari fungsi (1x)2dx\int(1-x)^2dx , diketahui nilai a=1a=-1 karena aa merupakan koefisien dari xx dan nilai n=2n=2 sehingga:

    (1x)2dx\int(1-x)^2dx

    =11(2+1)(1x)2+1+C=\frac{1}{-1(2+1)}(1-x)^{2+1}+C

    =11(3)(1x)3+C=\frac{1}{-1(3)}(1-x)^3+C

    =13(1x)3+C=-\frac{1}{3}(1-x)^3+C

    Jadi, (1x)2dx=13(1x)3+C\int(1-x)^2dx=-\frac{1}{3}(1-x)^3+C

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis