Contoh Soal

Limit Fungsi Trigonometri – Matematika Peminatan SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

    1.

    Jika limx0 g(x)x3=1, \lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{g\left(x\right)}{x^3}=1,\  maka nilai dari limx0 g(x)=....\lim\limits_{x\rightarrow0}\ g\left(x\right)=....

    A

    tidak ada

    B

    11

    C

    00

    D

    22

    E

    12\frac{1}{2}

    Pembahasan:

    Perhatikan bentuk limx0 g(x)x3=1\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{g\left(x\right)}{x^3}=1. Karena memiliki nilai limit berhingga, maka subtitusi langsung x=0x=0 harus menghasilkan bentuk tak tentu 00\frac{0}{0}. Ini mengaplikasikan

    limx0g(x)limx0x3=1\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0}g\left(x\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow0}x^3}=1

    sehingga mengharuskan limx0g(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow0}g\left(x\right)=0

    2.

    Nilai limx π2 1sin2x(sin 12xcos 12x)2 =....\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{1-\sin^2x}{\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2}\ =....

    A

    22

    B

    2-2

    C

    4-4

    D

    3-3

    E

    44

    Pembahasan:

    Subtitusi langsung x=π2x=\frac{\pi}{2} menghasilkan bentuk tak tentu 00\frac{0}{0}.

    ingat

    A=1sin2x=(1+sinx)(1sinx)A=1-\sin^2x=\left(1+\sin x\right)\left(1-\sin x\right)

    B=(sin 12xcos 12x)2 =sin2 12x+cos2 12x2sin 12xcos 12x=1sinxB=\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2\ =\sin^2\ \frac{1}{2}x+\cos^2\ \frac{1}{2}x-2\sin\ \frac{1}{2}x\cos\ \frac{1}{2}x=1-\sin x

    Dengan demikian, diperoleh

    limx π2 1sin2x(sin 12xcos 12x)2=limx π2 (1+sinx)(1sinx)1sinx\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{1-\sin^2x}{\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2}=\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\left(1+\sin x\right)\left(1-\sin x\right)}{1-\sin x}

                                        =limx π2 (1+sinx)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \left(1+\sin x\right)

                                        =1+sin π2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1+\sin\ \frac{\pi}{2}

                                        =1+1=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1+1=2

    Jadi,nilai limx π2 1sin2x(sin 12xcos 12x)2=2\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{1-\sin^2x}{\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2}=2

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    Nilai limx0 sin5x+tan3xsin5xtan5xtan3xsin5x=....\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin5x+\tan3x-\sin5x}{\tan5x-\tan3x-\sin5x}=....

    A

    1-1

    B

    11

    C

    2-2

    D

    44

    E

    55

    Pembahasan:

    Rumus umum limit fungsi trigonometri

    limx0 sinmxnx=mn\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n}

    limx0 tanmxnx=mn\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n}

    Subtitusi langsung x=0x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 00\frac{0}{0}.

    Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengalikannya dengan  1x1x\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} , maka

    limx0 sin5x+tan3xsin5xtan5xtan3xsin5x  1x1x=limx0 sin5xx+tan3xxsin5xxtan5xxtan3xxsin5xx=5+35535=1\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin5x+\tan3x-\sin5x}{\tan5x-\tan3x-\sin5x}\ \cdot\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\frac{\sin5x}{x}+\frac{\tan3x}{x}-\frac{\sin5x}{x}}{\frac{\tan5x}{x}-\frac{\tan3x}{x}-\frac{\sin5x}{x}}=\frac{5+3-5}{5-3-5}=-1

    Jadi, nilai limx0 sin5x+tan3xsin5xtan5xtan3xsin5x=1\ \lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin5x+\tan3x-\sin5x}{\tan5x-\tan3x-\sin5x}=-1


    4.

    Nilai limx0 xcos5xtan5xsin4x=....\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}=....

    A

    1-1

    B

    11

    C

    2-2

    D

    44

    E

    55

    Pembahasan:

    Rumus umum limit fungsi trigonometri

    limx0 sinmxnx=mn\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n}

    limx0 tanmxnx=mn\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n}

    Subtitusi langsung x=0x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 00\frac{0}{0}.

    Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengalikannya dengan  1x1x\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} , maka

    limx0 xcos5xtan5xsin4x=limx0 (xcos5xtan5xsin4x1x1x)\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \left(\frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}\cdot\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right)

                               =limx0 cos5xtan5xxsin4xx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\cos5x}{\frac{\tan5x}{x}-\frac{\sin4x}{x}}

                               =cos054\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\cos0}{5-4}

                               =11\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{1}

                               =1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1

    Jadi, nilai limx0 xcos5xtan5xsin4x=1\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}=1

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Nilai dari limx0tan3xcos4xtan3x12x3\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\cos4x-\tan3x}{12x^3} adalah ....

    A

    22

    B

    2-2

    C

    11

    D

    1-1

    E

    12\frac{1}{2}

    Pembahasan:

    Limit di atas memiliki bentuk  00\ \frac{0}{0} maka bentuk pecahan perlu diubah terlebih dahulu

    limx0tan3xcos4xtan3x12x3=limx0tan3x(cos4x1)12x3\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\cos4x-\tan3x}{12x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(\cos4x-1\right)}{12x^3}

    Karena cosax=12sin2a2x\cos ax=1-2\sin^2\frac{a}{2}x maka

    =limx0tan3x(12sin22x1)12x3=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(1-2\sin^22x-1\right)}{12x^3}

    =limx0tan3x(2sin22x)12x3=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(-2\sin^22x\right)}{12x^3}

    =limx02tan3xsin22x12x3=\lim\limits_{x\to0}\frac{-2\tan3x\sin^22x}{12x^3}

    =212 . limx0tan3xx . limx0sin22xx2=-\frac{2}{12}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^22x}{x^2}

    =16 . limx0tan3xx . limx0(sin2xx)2=-\frac{1}{6}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\sin2x}{x}\right)^2

    Karena berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri, limx0tanmxnx=mn\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n} dan limx0sinmxnx=mn\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n} maka

    =16 . 3 . (2)2=-\frac{1}{6}\ .\ 3\ .\ \left(2\right)^2

    =16 . 3 . 4=-\frac{1}{6}\ .\ 3\ .\ 4

    =2=-2

    6.

    Nilai limx0 sin4xsin4xcos2x4x3=....\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x-\sin4x\cos2x}{4x^3}=....

    A

    14\frac{1}{4}

    B

    12\frac{1}{2}

    C

    22

    D

    33

    E

    44

    Pembahasan:

    Subtitusi x=0x=0 menghasilkan nilai tak tentu 00\frac{0}{0}

    Ingat identitas trigonometri dan rumus limit trigonometri

    2sin2x=1cos2x2\sin^2x=1-\cos2x

    limx0 sinaxbx=ab\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}

    Dengan demikian,

    limx0 sin4xsin4xcos2x4x3\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x-\sin4x\cos2x}{4x^3}

    =limx0 sin4x(1cos2x)4x3=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\left(1-\cos2x\right)}{4x^3}

    =limx0 sin4x(2sin2x)4x3=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\left(2\sin^2x\right)}{4x^3}

    =limx0 sin4xsin2x2x3=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\sin^2x}{2x^3}

    =limx0 sin4x2xlimx0 sinxxlimx0 sinxx=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x}{2x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin x}{x}

    =211=2\cdot1\cdot1

    =2=2

    Jadi, nilai limx0 sin4xsin4xcos2x4x3=2\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x-\sin4x\cos2x}{4x^3}=2

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Nilai dari limx1 (x21)tan(6x6)sin2(x1)=....\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x^2-1\right)\tan\left(6x-6\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}=....

    A

    44

    B

    33

    C

    66

    D

    1010

    E

    1212

    Pembahasan:

    Subtitusi x=1x=1 menghasilkan nilai tak tentu 00\frac{0}{0}

    Ingat bahwa

    limx0 axsinbx=ab\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}

    limx0 tanaxsinbx=ab\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}

    Bentuk (x21)\left(x^2-1\right) dapat difaktorkan menjadi x21=(x1)(x+1)x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right) , maka

    limx1 (x21)tan(6x6)sin2(x1)=limx1 (x1)(x+1)tan6(x1)sin2(x1)\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x^2-1\right)\tan\left(6x-6\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\tan6\left(x-1\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}

    =limx1 ((x1)sin(x1)(x+1)tan6(x1)sin(x1))=\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \left(\frac{\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}\cdot\left(x+1\right)\cdot\frac{\tan6\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}\right)

    =limx1 (x1)sin(x1)limx1 (x+1)limx1 tan6(x1)sin(x1)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \left(x+1\right)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\tan6\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}

    =1limx1 (x+1)6=1\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \left(x+1\right)\cdot6

    =1(1+1)6=1\cdot\left(1+1\right)\cdot6

    =12=12

    Jadi, nilai dari limx1 (x21)tan(6x6)sin2(x1)=12\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x^2-1\right)\tan\left(6x-6\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}=12

    8.

    Nilai bb yang memenuhi limx0bsin12xtan3x=10+b\lim\limits_{x\to0}\frac{b\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b adalah ....

    A

    12-12

    B

    22

    C

    9-9

    D

    2-2

    E

    11

    Pembahasan:

    Diketahui:

    limx0bsin12xtan3x=10+b\lim\limits_{x\to0}\frac{b\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b

    Ditanya:

    b=?b=?

    Jawab:

    Limit di atas memiliki bentuk  00\ \frac{0}{0} maka bentuk pecahan perlu diubah terlebih dahulu

    limx0bsin12xtan3x=10+b\lim\limits_{x\to0}\frac{b\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b

    limx0b . limx0sin12xtan3x=10+b\lim\limits_{x\to0}b\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b

    Karena limxca=a\lim\limits_{x\to c}a=a dan limx0sinmxtannx=mn\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin mx}{\tan nx}=\frac{m}{n} maka

    b . 123=10+bb\ .\ \frac{\frac{1}{2}}{3}=10+b

    b . 12 . 13=10+bb\ .\ \frac{1}{2}\ .\ \frac{1}{3}=10+b

    16b=10+b\frac{1}{6}b=10+b

    16bb=10\frac{1}{6}b-b=10

    16b66b=10\frac{1}{6}b-\frac{6}{6}b=10

    56b=10-\frac{5}{6}b=10

    b=10×65b=-\frac{10\times6}{5}

    b=12b=-12

    Jadi, nilai bb yang memenuhi adalah 12-12

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Ekspresi limx02sinaxbx\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin ax}{bx} sama dengan ....

    A

    2ab2ab

    B

    ab\frac{a}{b}

    C

    2ab\frac{2a}{b}

    D

    a2b\frac{a}{2b}

    E

    12ab\frac{1}{2ab}

    Pembahasan:

    Berdasarkan rumus umum limit fungsi trigonometri,

    limx0sinaxbx=ab\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}

    Dengan demikian,

    limx02sinaxbx\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin ax}{bx} =2limx0sinaxbx=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}

    =2ab=\frac{2a}{b}

    10.

    Nilai dari limx π2 cosxπ2x=....\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}=....

    A

    11

    B

    1-1

    C

    22

    D

    2-2

    E

    3-3

    Pembahasan:

    Subtitusi x=π2x=\frac{\pi}{2} menghasilkan bentuk tak tentu 00\frac{0}{0}.

    Gunakan rumus trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut:

    limx0 sinxx=1\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin x}{x}=1

    cosx=sin(π2x)\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

    Dengan demikian, diperoleh

    limx π2 cosxπ2x=limx π2 sin(π2x)π2x\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}=\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\frac{\pi}{2}-x}

                      =1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1

    Jadi, nilai dari limx π2 cosxπ2x=1\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}=1

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis