Contoh Soal

Jumlah dan Selisih Sin-Cos – Matematika Peminatan SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

    1.

    Bentuk (sin12(4a+b)sin12(4ab))-\left(\sin\frac{1}{2}\left(4a+b\right)\sin\frac{1}{2}\left(4a-b\right)\right) dapat juga ditulis dalam bentuk ....

    A

    2(cos4acosb)2\left(\cos4a-\cos b\right)

    B

    12(cos4a+cosb)-\frac{1}{2}\left(\cos4a+\cos b\right)

    C

    12(cos4a+cosb)\frac{1}{2}\left(\cos4a+\cos b\right)

    D

    cos4acosb\cos4a-\cos b

    E

    12(cos4acosb)\frac{1}{2}\left(\cos4a-\cos b\right)

    Pembahasan:

    Rumus umum selisih cosinus adalah

    cosαcosβ=2(sin12(α+β)sin12(αβ))\cos\alpha-\cos\beta=-2\left(\sin\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\sin\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\right)

    Dengan demikian,

    (sin12(4a+b)sin12(4ab))=12 . 2(sin12(4a+b)sin12(4ab))-\left(\sin\frac{1}{2}\left(4a+b\right)\sin\frac{1}{2}\left(4a-b\right)\right)=-\frac{1}{2}\ .\ 2\left(\sin\frac{1}{2}\left(4a+b\right)\sin\frac{1}{2}\left(4a-b\right)\right)

    =12(cos4acosb)=\frac{1}{2}\left(\cos4a-\cos b\right)

    2.

    cos32°cos18°\cos32\degree\cos18\degree dapat ditulis menjadi ....

    A

    12(cos(14°)+cos(50°))\frac{1}{2}\left(\cos\left(14\degree\right)+\cos\left(50\degree\right)\right)

    B

    12(cos(32°)+cos(18°))\frac{1}{2}\left(\cos\left(32\degree\right)+\cos\left(18\degree\right)\right)

    C

    12(sin(14°)+sin(50°))\frac{1}{2}\left(\sin\left(14\degree\right)+\sin\left(50\degree\right)\right)

    D

    12(sin(32°)+sin(18°))\frac{1}{2}\left(\sin\left(32\degree\right)+\sin\left(18\degree\right)\right)

    E

    12(cos(32°)+sin(18°))\frac{1}{2}\left(\cos\left(32\degree\right)+\sin\left(18\degree\right)\right)

    Pembahasan:

    Rumus umum perkalian cosinus adalah

    cosαcosβ=12(cos(αβ)+cos(α+β))\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha-\beta\right)+\cos\left(\alpha+\beta\right)\right)

    Dengan demikian,

    cos32°cos18°=12(cos(32°18°)+cos(32°+18°))\cos32\degree\cos18\degree=\frac{1}{2}\left(\cos\left(32\degree-18\degree\right)+\cos\left(32\degree+18\degree\right)\right)

    =12(cos(14°)+cos(50°))=\frac{1}{2}\left(\cos\left(14\degree\right)+\cos\left(50\degree\right)\right)

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    sin23°+sin27°\sin23\degree+\sin27\degree dapat ditulis menjadi ....

    A

    2sin50°cos4°2\sin50\degree\cos4\degree

    B

    2sin25°cos2°2\sin25\degree\cos2\degree

    C

    2sin23°sin27°2\sin23\degree\sin27\degree

    D

    2cos23°cos27°2\cos23\degree\cos27\degree

    E

    2cos50°cos4°2\cos50\degree\cos4\degree

    Pembahasan:

    Rumus umum jumlah sinus adalah

    sinα+sinβ=2sin12(α+β)cos12(αβ)\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\cos\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)

    Dengan demikian,

    sin23°+sin27°=2sin12(23°+27°)cos12(23°27°)\sin23\degree+\sin27\degree=2\sin\frac{1}{2}\left(23\degree+27\degree\right)\cos\frac{1}{2}\left(23\degree-27\degree\right)

    =2sin12(50°)cos12(4°)=2\sin\frac{1}{2}\left(50\degree\right)\cos\frac{1}{2}\left(-4\degree\right)

    =2sin25°cos(2°)=2\sin25\degree\cos\left(-2\degree\right)

    Ingat hubungan cos(θ)=cosθ\cos\left(-\theta\right)=\cos\theta sehingga

    =2sin25°cos2°=2\sin25\degree\cos2\degree

    4.

    2sin12(2x+5y)sin(2x5y)-2\sin\frac{1}{2}\left(2x+5y\right)\sin\left(2x-5y\right) jika dituliskan dalam bentuk selisih cosinus menjadi ....

    A

    cos2xcos5y\cos2x-\cos5y

    B

    cos5xcos2y\cos5x-\cos2y

    C

    cos2xcos(5y)\cos2x-\cos\left(-5y\right)

    D

    cos(2x)cos5y\cos\left(-2x\right)-\cos5y

    E

    2(cos2xcos5y)-2\left(\cos2x-\cos5y\right)

    Pembahasan:

    Rumus umum selisih cosinus adalah

    cosαcosβ=2sin12(α+β)sin12(αβ)\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\sin\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)

    Dengan demikian,

    2sin12(2x+5y)sin(2x5y)=cos2xcos5y-2\sin\frac{1}{2}\left(2x+5y\right)\sin\left(2x-5y\right)=\cos2x-\cos5y

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Diketahui cosθ=0,5\cos\theta=0,5 dengan 0°θ90°0\degree\le\theta\le90\degree. Nilai tan12θ\tan\frac{1}{2}\theta adalah ....

    A

    2\sqrt{2}

    B

    12\frac{1}{2}

    C

    122\frac{1}{2}\sqrt{2}

    D

    133\frac{1}{3}\sqrt{3}

    E

    123\frac{1}{2}\sqrt{3}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    cosθ=0,5\cos\theta=0,5

    0°θ90°0\degree\le\theta\le90\degree

    Ditanya:

    tan12θ\tan\frac{1}{2}\theta =?=?

    Jawab:

    Rumus umum tangen sudut paruh yang berada di kuadran I adalah

    tanθ2=1cosθsinθ\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}

    Sehingga cari nilai sinθ\sin\theta terlebih dahulu.

    y=2212y=\sqrt{2^2-1^2}

    =41=\sqrt{4-1}

    =3=\sqrt{3}

    Karena sinθ=DeMi \sin\theta=\frac{\text{De}}{\text{Mi}}\ maka sinθ=32\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}

    tanθ2=1cosθsinθ\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}

    =10,532=\frac{1-0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

    =0,532=\frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

    =0,5×23=0,5\times\frac{2}{\sqrt{3}}

    =13×33=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

    =133=\frac{1}{3}\sqrt{3}

    6.

    Jika sin6a=0,8\sin6a=0,8 dan sin4b=0,3\sin4b=0,3 maka nilai dari cos(3a+2b)sin(3a2b)=....\cos\left(3a+2b\right)\sin\left(3a-2b\right)=....

    A

    0,10,1

    B

    0,50,5

    C

    0,250,25

    D

    0,40,4

    E

    0,110,11

    Pembahasan:

    Diketahui:

    sin6a=0,8\sin6a=0,8

    sin4b=0,3\sin4b=0,3

    Ditanya:

    cos(3a+2b)sin(3a2b)=?\cos\left(3a+2b\right)\sin\left(3a-2b\right)=?

    Jawab:

    Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan perkalian cosinus-sinus

    Rumus umum perkalian cosinus-sinus adalah

    cosαsinβ=12(sin(α+β)sin(αβ))\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)

    Dengan demikian,

    cos(3a+2b)sin(3a2b)=12(sin(3a+2b+(3a2b))sin(3a+2b(3a2b)))\cos\left(3a+2b\right)\sin\left(3a-2b\right)=\frac{1}{2}\left(\sin\left(3a+2b+\left(3a-2b\right)\right)-\sin\left(3a+2b-\left(3a-2b\right)\right)\right)

    =12(sin(3a+2b+3a2b)sin(3a+2b3a+2b))=\frac{1}{2}\left(\sin\left(3a+2b+3a-2b\right)-\sin\left(3a+2b-3a+2b\right)\right)

    =12(sin6asin4b)=\frac{1}{2}\left(\sin6a-\sin4b\right)

    =12(0,80,3)=\frac{1}{2}\left(0,8-0,3\right)

    =12(0,5)=\frac{1}{2}\left(0,5\right)

    =0,25=0,25

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Nilai dari sin90°cos30°sin45°=....\sin90\degree\cos30\degree\sin45\degree=....

    A

    14-\frac{1}{4}

    B

    12-\frac{1}{2}

    C

    123\frac{1}{2}\sqrt{3}

    D

    143\frac{1}{4}\sqrt{3}

    E

    146\frac{1}{4}\sqrt{6}

    Pembahasan:

    Rumus umum perkalian sinus-cosinus

    sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(αβ))\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)

    Dengan demikian

    Hitung terlebih dahulu perkalian sinus-cosinus

    sin90°cos30°=12(sin(90°+30°)+sin(90°30°))\sin90\degree\cos30\degree=\frac{1}{2}\left(\sin\left(90\degree+30\degree\right)+\sin\left(90\degree-30\degree\right)\right)

    =12(sin120°+sin60°)=\frac{1}{2}\left(\sin120\degree+\sin60\degree\right)

    =12(123+123)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)

    =123=\frac{1}{2}\sqrt{3}

    Selanjutnya hasil perkalian sinus-cosinus dikalikan dengan sin45°\sin45\degree

    =123 . sin45°=\frac{1}{2}\sqrt{3}\ .\ \sin45\degree

    =123 . 122=\frac{1}{2}\sqrt{3}\ .\ \frac{1}{2}\sqrt{2}

    =146=\frac{1}{4}\sqrt{6}

    8.

    1cos50°sin50°\frac{1-\cos50\degree}{\sin50\degree} sama dengan ....

    A

    cosec50°\operatorname{cosec}50\degree

    B

    tan50°\tan50\degree

    C

    sec25°\sec25\degree

    D

    tan25°\tan25\degree

    E

    sin50°\sin50\degree

    Pembahasan:

    Sederhanakan bentuk di atas dengan menggunakan rumus cosinus dan sinus dari sudut ganda.

    Rumus umum cosinus dengan sudut ganda adalah sebagai berikut.

    cos2x=cos2xsin2x\cos2x=\cos^2x-\sin^2x

    cos2x=12sin2x\cos2x=1-2\sin^2x

    cos2x=2cos2x1\cos2x=2\cos^2x-1

    Rumus umum sinus dengan sudut ganda adalah sebagai berikut.

    sin2x=2sinxcosx\sin2x=2\sin x\cos x

    Dengan demikian,

    1cos50°sin50°=1(12sin225°)2sin25°cos25°\frac{1-\cos50\degree}{\sin50\degree}=\frac{1-\left(1-2\sin^225\degree\right)}{2\sin25\degree\cos25\degree}

    =11+2sin225°2sin25°cos25°=\frac{1-1+2\sin^225\degree}{2\sin25\degree\cos25\degree}

    =2sin225°2sin25°cos25°=\frac{2\sin^225\degree}{2\sin25\degree\cos25\degree}

    =sin25°cos25°=\frac{\sin25\degree}{\cos25\degree}

    =tan25°=\tan25\degree

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Nilai dari 2sin(π2α)cos(π2+α)=....2\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=....

    A

    2sinα12\sin\alpha-1

    B

    sin2α\sin2\alpha

    C

    1+sin2α1+\sin2\alpha

    D

    1sin2α1-\sin2\alpha

    E

    sin2α-\sin2\alpha

    Pembahasan:

    Persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk penjumlahan sinus

    2sin(π2α)cos(π2+α)=2sin12(π2α)cos12(π+2α)2\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=2\sin\frac{1}{2}\left(\pi-2\alpha\right)\cos\frac{1}{2}\left(\pi+2\alpha\right)

    =2sin12(π+(2α))cos12(π(2α))=2\sin\frac{1}{2}\left(\pi+\left(-2\alpha\right)\right)\cos\frac{1}{2}\left(\pi-\left(-2\alpha\right)\right)

    =sinπ+sin(2α)=\sin\pi+\sin\left(-2\alpha\right)

    Ingat kembali bahwa sin(θ)=sinθ\sin\left(-\theta\right)=-\sin\theta maka

    =sinπsin2α=\sin\pi-\sin2\alpha

    =0sin2α=0-\sin2\alpha

    =sin2α=-\sin2\alpha

    10.

    Jika tanpa menggunakan kalkulator, nilai cos72°\cos72\degree adalah ....

    A

    514\frac{\sqrt{5}-1}{4}

    B

    312\frac{\sqrt{3}-1}{2}

    C

    5+23\frac{\sqrt{5}+2}{3}

    D

    5+14\frac{\sqrt{5}+1}{4}

    E

    523\frac{\sqrt{5}-2}{3}

    Pembahasan:

    Ingat bahwa cos72°\cos72\degree dapat ditulis menjadi cos(90°18°)\cos\left(90\degree-18\degree\right)

    Hubungan pada kuadran I, cos(90°θ)=sinθ\cos\left(90\degree-\theta\right)=\sin\theta. Dengan demikian,

    cos(90°18°)=sin18°\cos\left(90\degree-18\degree\right)=\sin18\degree

    Misalkan, A=18°A=18\degree maka 5A=90°5A=90\degree

    5A=90°5A=90\degree

    2A+3A=90°2A+3A=90\degree

    2A=90°3A2A=90\degree-3A

    sin2A=sin(90°3A)\sin2A=\sin\left(90\degree-3A\right)

    Hubungan pada kuadran I, sin(90°θ)=cosθ\sin\left(90\degree-\theta\right)=\cos\theta

    sin2A=cos3A\sin2A=\cos3A

    sin2A=cos(2A+A)\sin2A=\cos\left(2A+A\right)

    Karena sin2A=2sinAcos A\sin2A=2\sin A\cos\ A dan

    cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta maka

    2sinAcosA=cos2AcosAsin2AsinA2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-\sin2A\sin A

    2sinAcosA=cos2AcosA(2sinAcosA)sinA2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-\left(2\sin A\cos A\right)\sin A

    2sinAcosA=cos2AcosA2sin2AcosA2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-2\sin^2A\cos A

    Karena sin2A=1cos2A\sin^2A=1-\cos^2A maka

    2sinAcosA=cos2AcosA2(1cos2A)cosA2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-2\left(1-\cos^2A\right)\cos A

    2sinAcosA=cos2AcosA2cosA+2cos3A2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-2\cos A+2\cos^3A

    Karena cos2A=2cos2A1\cos2A=2\cos^2A-1 maka

    2sinAcosA=(2cos2A1)cosA2cosA+2cos3A2\sin A\cos A=\left(2\cos^2A-1\right)\cos A-2\cos A+2\cos^3A

    2sinAcosA=2cos3AcosA2cosA+2cos3A2\sin A\cos A=2\cos^3A-\cos A-2\cos A+2\cos^3A

    2sinAcosA=4cos3A3cosA2\sin A\cos A=4\cos^3A-3\cos A

    2sinAcosA4cos3A+3cosA=02\sin A\cos A-4\cos^3A+3\cos A=0

    cosA(2sinA4cos2A+3)=0\cos A\left(2\sin A-4\cos^2A+3\right)=0

    Setiap ruas dikali 1cosA\frac{1}{\cos A}

    2sinA4cos2A+3=02\sin A-4\cos^2A+3=0

    Karena cos2A=1sin2A\cos^2A=1-\sin^2A maka

    2sinA4(1sin2A)+3=02\sin A-4\left(1-\sin^2A\right)+3=0

    2sinA4+4sin2A+3=02\sin A-4+4\sin^2A+3=0

    4sin2A+2sinA1=04\sin^2A+2\sin A-1=0

    Mencari akar dari persamaan kuadrat menggunakan rumus ABCABC

    Jika diketahui persamaan ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 maka rumus ABCABC

    x1,2=b±b24ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    Karena a=4,b=2,c=1a=4,b=2,c=-1 maka

    sinA=2±224(4)(1)2(4)\sin A=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\left(4\right)\left(-1\right)}}{2\left(4\right)}

    =2±4+168=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8}

    =2±208=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8}

    =2±258=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}

    sinA=1±54\sin A=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}

    Karena sudut berada di kuadran I, maka sinus bernilai positif

    sinA=514\sin A=\frac{\sqrt{5}-1}{4}

    Jadi, cos72°=sin18°=514\cos72\degree=\sin18\degree=\frac{\sqrt{5}-1}{4}

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis