Contoh Soal

Faktorisasi Polinom – Matematika Peminatan SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

    1.

    Urutan turun dari x7+x8+(x3)25x2x-7+\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2-5x^2 adalah ....

    A

    (x3)2+x85x2+x7\left(x^3\right)^2+\sqrt{x^8}-5x^2+x-7

    B

    x8+(x3)25x2+x7\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2-5x^2+x-7

    C

    x7+x8+(x3)25x2x-7+\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2-5x^2

    D

    x8+(x3)2+x5x27\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2+x-5x^2-7

    E

    7+x5x2+x8+(x3)2-7+x-5x^2+\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2

    Pembahasan:

    Akan dicek pada setiap suku banyak yang ada.

    Perhatikan suku banyak pertama!

     x=x1\Leftrightarrow\ x=x^1

    Perhatikan suku banyak kedua!

     7=7x0\Leftrightarrow\ -7=7x^0

    Perhatikan suku banyak ketiga!

    x8=x82=x4\Leftrightarrow\sqrt{x^8}=x^{\frac{8}{2}}=x^4

    Perhatikan suku banyak keempat!

    (x3)2=x6\Leftrightarrow\left(x^3\right)^2=x^6

    Perhatikan suku banyak kelima!

    5x2\Leftrightarrow-5x^2

    Jadi, urutan turun dari x7+x8+(x3)25x2x-7+\sqrt{x^8}+\left(x^3\right)^2-5x^2 dalah (x3)2+x85x2+x7\left(x^3\right)^2+\sqrt{x^8}-5x^2+x-7

    2.

    Derajat dari (x23)2(12x+3x2)\left(x^2-3\right)^2\left(1-2x+3x^2\right) adalah ....

    A

    2

    B

    3

    C

    4

    D

    5

    E

    6

    Pembahasan:

    Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suku banyak.

    Untuk menentukannya, kita harus menjabarkan suku banyak terlebih dahulu.

    (x23)2(12x+3x2)\left(x^2-3\right)^2\left(1-2x+3x^2\right)

     (x46x2+9)(12x+3x2)\Leftrightarrow\ \left(x^4-6x^2+9\right)\left(1-2x+3x^2\right)

     x42x5+3x66x2+12x318x4+918x+27x2\Leftrightarrow\ x^4-2x^5+3x^6-6x^2+12x^3-18x^4+9-18x+27x^2

    Kelompokkan suku yang sejenis

     3x62x5+x418x4+12x36x2+27x218x+9\Leftrightarrow\ 3x^6-2x^5+x^4-18x^4+12x^3-6x^2+27x^2-18x+9

     3x62x517x4+12x3+21x218x+9\Leftrightarrow\ 3x^6-2x^5-17x^4+12x^3+21x^2-18x+9

    Pangkat tertinggi penjabaran suku banyak adalah 6, sehingga derajat suku banyak tersebut adalah 6.

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    Koefisien berdasarkan urutan suku secara naik pada bentuk aljabar 2x2+x3+5x2+10x5+16x4112x^2+x^3+5\sqrt{x^2}+10x^5+\sqrt{16x^4}-11 adalah ....

    A

    1,11,5,2,4,101,-11,5,2,4,10

    B

    1,11,5,2,4,101,11,5,2,4,10

    C

    11,5,2,4,1,10-11,5,2,4,1,10

    D

    10,4,3,5,11,110,4,3,5,-11,1

    E

    11,2,4,5,1,10-11,2,4,5,1,10

    Pembahasan:

    Koefisien adalah bilangan real yang terletak di sebelah variabel.

    Akan dicek pada setiap suku banyak yang ada.

    Perhatikan suku banyak pertama!

     2x2\Leftrightarrow\ 2x^2 memiliki koefisien 2

    Perhatikan suku banyak kedua!

     x3\Leftrightarrow\ x^3 memiliki koefisien 1

    Perhatikan suku banyak ketiga!

     5x2=5x\Leftrightarrow\ 5\sqrt{x^2}=5x^{ } memiliki koefisien 5

    Perhatikan suku banyak keempat!

     10x5\Leftrightarrow\ 10x^5 memiliki koefisien 10

    Perhatikan suku banyak kelima!

    16x4=(4)2x4=4x2\Leftrightarrow\sqrt{16x^4}=\sqrt{\left(4\right)^2x^4}=4x^2 memiliki koefisien 4

    Perhatikan suku banyak keenam!

    11=11x0\Leftrightarrow-11=-11x^0 memiliki koefisien -11

    Jadi, koefisienurutan naiknya adalah 11,5,2,4,1,10-11,5,2,4,1,10

    4.

    Suku banyak (x2+2)2(x+1)(x7)2\left(x^2+2\right)^2\left(x+1\right)\left(x-7\right)^2 merupakan suku banyak berderajat ....

    A

    3

    B

    4

    C

    5

    D

    6

    E

    7

    Pembahasan:

    Derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suku banyak.

    Untuk menentukannya, kita harus menjabarkan suku banyak terlebih dahulu.

    (x2+2)2(x+1)(x7)2\left(x^2+2\right)^2\left(x+1\right)\left(x-7\right)^2

    (x2+2)(x2+2)(x+1)(x7)(x7)\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x^2+2\right)\left(x+1\right)\left(x-7\right)\left(x-7\right)

    (x4+4x2+4)(x+1)(x214x+49)\Leftrightarrow\left(x^4+4x^2+4\right)\left(x+1\right)\left(x^2-14x+49\right)

    (x5+x4+4x3+4x2+4x+4)(x214x+49)\Leftrightarrow\left(x^5+x^4+4x^3+4x^2+4x+4\right)\left(x^2-14x+49\right)

     x713x6+39x53x4+144x3+144x2+140x+196\Leftrightarrow\ x^7-13x^6+39x^5-3x^4+144x^3+144x^2+140x+196

    Pangkat tertinggi suku banyak tersebut adalah 7, sehingga suku banyak tersebut dapat dikatakan suku banyak berderajat 7.

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Jika 2 merupakan salah satu akar dari x3+7x2+5x11x^3+7x^2+5x-11 , maka hasil kali dari akar-akar lainnya adalah ....

    A

    112\frac{11}{2}

    B

    132\frac{13}{2}

    C

    152\frac{15}{2}

    D

    132-\frac{13}{2}

    E

    112-\frac{11}{2}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    x3+7x2+5x11x^3+7x^2+5x-11

    Misalkan: x1=2x_1=2

    Ditanya:

    x2x3=?x_2x_3=?

    Jawab:

    Menggunakan teorema akar-akar polinomial

    Jika diketahui polinomial ax3+bx2+cx+dax^3+bx^2+cx+d, maka:

    x1+x2+x3=bax_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}

    x1x2+x1x3+x2x3=cax_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}

    x1x2x3=dax_1x_2x_3=-\frac{d}{a}

    Untuk menemukan nilai x2x3x_2x_3 kita dapat menggunakan salah satu persamaan dari teorema akar-akar polinomial di atas

    x3+7x2+5x11x^3+7x^2+5x-11 , maka

    a=1a=1

    b=7b=7

    c=5c=5

    d=11d=-11 , sehingga:

    x1x2x3=dax_1x_2x_3=-\frac{d}{a}

     x1x2x3=(11)1\Leftrightarrow\ x_1x_2x_3=-\frac{(-11)}{1}

     x1x2x3=11\Leftrightarrow\ x_1x_2x_3=11

    Diketahui x1=2x_1=2 maka:

     2x2x3=11\Leftrightarrow\ 2x_2x_3=11

     x2x3=112\Leftrightarrow\ x_2x_3=\frac{11}{2}

    Jadi, hasil kali akar-akar lainnya adalah 112\frac{11}{2}

    6.

    Nilai x1 2+x2 2+x3   2x_1^{ }\ ^2+x_2^{ }\ ^2+x_{3\ }^{\ \ 2} pada persamaan f(x)=2x33x211x+6=0f(x)=2x^3-3x^2-11x+6=0 adalah ....

    A

    11 1411\ \frac{1}{4}

    B

    13 1413\ \frac{1}{4}

    C

    94\frac{9}{4}

    D

    32\frac{3}{2}

    E

    99

    Pembahasan:

    Diketahui:

    2x33x211x+6=02x^3-3x^2-11x+6=0 , dimana a=2 , b= 3, c=11 dan d=6a=2\ ,\ b=\ -3,\ c=-11\ \text{dan}\ d=6

    Ditanya:

    x1 2+x2 2+x3   2 =?x_1^{ }\ ^2+x_2^{ }\ ^2+x_{3\ }^{\ \ 2}\ =?

    Jawab:

    Gunakan teorema akar-akan x1+x2+x3=bax_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}

    x1+x2+x3=ba=32=32\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}

    Gunakan teorema akar akar x1×x2+x1×x3+x2×x3=cax_1\times x_2+x_1\times x_3+x_2\times x_3=\frac{c}{a}

    x1×x2+x1×x3+x2×x3=ca=112\Leftrightarrow x_1\times x_2+x_1\times x_3+x_2\times x_3=\frac{c}{a}=-\frac{11}{2}

    Jabarkan x1   2+x2   2+x3   2x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}

    x1   2+x2   2+x3   2=(x1+x2+x3)22(x1x2+x1x3+x2x3)\Leftrightarrow x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)

    x1   2+x2   2+x3   2=(32)22(112)\Leftrightarrow x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\left(-\frac{11}{2}\right)

    x1   2+x2   2+x3   2=94+11=2 14+11=13 14\Leftrightarrow x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=\frac{9}{4}+11=2\ \frac{1}{4}+11=13\ \frac{1}{4}

    Jadi, nilai x1   2+x2   2+x3   2=13 14x_1^{\ \ \ 2}+x_2^{\ \ \ 2}+x_3^{\ \ \ 2}=13\ \frac{1}{4}

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Sisa dari pembagian f(x)=x5+2x4x3+7x12f\left(x\right)=x^5+2x^4-x^3+7x-12 oleh (x+2)\left(x+2\right) adalah ....

    A

    -18

    B

    -6

    C

    6

    D

    10

    E

    -34

    Pembahasan:

    Pembagi adalah (x+2)\left(x+2\right), dimana x=2x=-2 diletakkan pada bagian paling kiri bagan horner.

    Langkah 1: Koefisien dari persamaan polinom dibuat secara horizontal dan pembagi pada bagian paling kiri bagan horner

    Langkah 2: Koefisien angka 1 ditambah dengan 0 akan menghasilkan angka 1 pada baris ketiga

    Langkah 3: Hasil angka 1 dikalikan dengan -2 menghasilkan angka -2 dan diletakkan di bawah angka 2. Setelah 2 ditambah -2, 0 adalah hasilnya.

    Langkah 4: Angka 0 dikalikan dengan -2 menghasilkan 0 dan diletakkan di bawah angka -1. Setelah -1 ditambah 0, -1 adalah hasilnya.

    Langkah 5: Angka -1 dikalikan dengan -2 menghasilkan 2 dan diletakkan di bawah angka 0. Setelah 0 ditambah 2, 2 adalah hasilnya.

    Langkah 6: Angka 2 dikalikan dengan -2 menghasilkan -4 dan diletakkan di bawah angka 7. Setelah 7 ditambah -4, 3 adalah hasilnya.

    Langkah 7: Angka 3 dikalikan dengan -2 menghasilkan -6 dan diletakkan di bawah angka -12. Setelah -12 ditambah -6, -18 adalah angka terakhir pada bagan horner. Jadi -18 adalah sisanya.

    Berdasarkan bagan tersebut, diperoleh sisa -18

    8.

    Jumlah semua koefisien pada penjabaran (x32)(x3+4)(x+1)\left(x^3-2\right)\left(-x^3+4\right)\left(x+1\right) adalah ....

    A

    -6

    B

    10

    C

    12

    D

    0

    E

    -14

    Pembahasan:

    Koefisien adalah bilangan real yang terletak di sebelah variabel.

     (x32)(x3+4)(x+1)\Leftrightarrow\ \left(x^3-2\right)\left(-x^3+4\right)\left(x+1\right)

     (x6+4x3+2x38)(x+1)\Leftrightarrow\ \left(-x^6+4x^3+2x^3-8\right)\left(x+1\right)

     (x6+6x38)(x+1)\Leftrightarrow\ \left(-x^6+6x^3-8\right)\left(x+1\right)

     (x7x6+6x4+6x38x8)\Leftrightarrow\ \left(-x^7-x^6+6x^4+6x^3-8x-8\right)

    Jadi, jumlah setiap koefisiennya adalah 11+6+688 = 6-1-1+6+6-8-8\ =\ -6

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Hasil kali semua xx yang memenuhi persamaan 4x37x2+2x112x2+x6=04^{x^3-7x^2+2x-11}-2^{x^2+x-6}=0 adalah ....

    A

    2

    B

    4

    C

    6

    D

    8

    E

    10

    Pembahasan:

    4x37x2+2x112x2+x6=04^{x^3-7x^2+2x-11}-2^{x^2+x-6}=0

    Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat melakukan manipulasi terhadap persamaan di atas menggunakan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat.

     4x37x2+2x11=2x2+x6\Leftrightarrow\ 4^{x^3-7x^2+2x-11}=2^{x^2+x-6}

    Sifat bilangan berpangkat: (am)n=am×n\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}, sehingga

     22(x37x2+2x11)=2x2+x6\Leftrightarrow\ 2^{2\left(x^3-7x^2+2x-11\right)}=2^{x^2+x-6}

     22x314x2+4x22=2x2+x6\Leftrightarrow\ 2^{2x^3-14x^2+4x-22}=2^{x^2+x-6}

    Sifat bilangan berpangkat: af(x)=ag(x)  f(x)=g(x)a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\ \Leftrightarrow\ f\left(x\right)=g\left(x\right), sehingga

     2x314x2+4x22=x2+x6\Leftrightarrow\ 2x^3-14x^2+4x-22=x^2+x-6

    Selanjutnya, manipulasi persamaan dapat dilanjutkan menggunakan sifat-sifat aljabar

     2x314x2+4x22x2x+6=0\Leftrightarrow\ 2x^3-14x^2+4x-22-x^2-x+6=0

    Kelompokkan suku yang sejenis

     2x314x2x2+4xx22+6=0\Leftrightarrow\ 2x^3-14x^2-x^2+4x-x-22+6=0

    2x315x2+3x16=0\Leftrightarrow 2x^3-15x^2+3x-16=0

    Terlihat bahwa hasil manipulasi persamaan berbentuk suku banyak berderajat 3, sehingga ada 3 nilai xx yang memenuhi. Misalkan nilai xx yang memenuhi adalah x1, x2,x_1,\ x_2, dan x3.x_3.

    Menggunakan teorema akar-akar polinomial:

    Jika diketahui suku banyak ax3+bx2+cx+dax^3+bx^2+cx+d, maka:

    x1+x2+x3=bax_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}

    x1x2+x2x3+x1x3=cax_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}

    x1x2x3=dax_1x_2x_3=-\frac{d}{a}

    Persamaan:

    2x315x2+3x16=02x^3-15x^2+3x-16=0

    a=2;b=15;c=3;d=16a=2; b=-15; c=3; d=-16

    Hasil kali xx yang memenuhi

    x1x2x3=dax_1x_2x_3=-\frac{d}{a}

    x1x2x3=(16)2\Leftrightarrow x_1x_2x_3=-\frac{\left(-16\right)}{2}

    x1x2x3=162\Leftrightarrow x_1x_2x_3=\frac{16}{2}

    x1x2x3=8\Leftrightarrow x_1x_2x_3=8

    Jadi, hasil kali xx yang memenuhi adalah 8.

    10.

    Diketahui suku banyak x46x3+mx2+nx8x^4-6x^3+mx^2+nx-8 memiliki akar-akar x1, x2, x3,x_1,\ x_2,\ x_3, dan x4.x_4. Jika pasangan dua akar pertama saling berlawanan dan akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat, maka nilai mm dan nn berturut-turut adalah ....

    A

    6 dan 7

    B

    7 dan 6

    C

    7 dan 8

    D

    8 dan 7

    E

    5 dan 6

    Pembahasan:

    Diketahui:

    x46x3+mx2+nx8x^4-6x^3+mx^2+nx-8

    Dua akar pertama saling berlawanan: x1=x2 x1+x2=0x_1=-x_2\Leftrightarrow\ x_1+x_2=0

    Akar ketiga adalah dua kali akar keempat: x3=2x4x_3=2x_4

    Ditanya:

    m=?m=?

    n=?n=?

    Jawab:

    Teorema akar-akar suku banyak.

    Jika diketahui suatu suku banyak ax4+bx3+cx2+dx+eax^4+bx^3+cx^2+dx+e, maka

    x1+x2+x3+x4=bax_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}

    x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=cax_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a}

    x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=dax_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}

    x1x2x3x4=eax_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}

    Diketahui suku banyak x46x3+mx2+nx8x^4-6x^3+mx^2+nx-8, maka

    a=1a=1

    b=6b=-6

    c=mc=m

    d=nd=n

    e=8e=-8

    Diketahui x1+x2=0x_1+x_2=0 dan x3=2x4x_3=2x_4, maka

    x1+x2+x3+x4=bax_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}

     0+2x4+x4=(6)1\Leftrightarrow\ 0+2x_4+x_4=-\frac{\left(-6\right)}{1}

     3x4=6\Leftrightarrow\ 3x_4=6

     x4=63\Leftrightarrow\ x_4=\frac{6}{3}

     x4=2\Leftrightarrow\ x_4=2

    Sehingga diperoleh

    x3=2x4  x3=4x_3=2x_4\ \Leftrightarrow\ x_3=4

    Kita dapat menentukan nilai mm dan nn dengan menggunakan akar-akar yang sudah diketahui.

    Jika f(x)=x46x3+mx2+nx8f\left(x\right)=x^4-6x^3+mx^2+nx-8 adalah suatu suku banyak dan x3=4x_3=4 adalah akar dari f(x)f\left(x\right), maka f(4)=0f\left(4\right)=0 sehingga

    f(4)=0f\left(4\right)=0

     (4)46(4)3+m(4)2+n(4)8=0\Leftrightarrow\ \left(4\right)^4-6\left(4\right)^3+m\left(4\right)^2+n\left(4\right)-8=0

     2566(64)+m(16)+4n8=0\Leftrightarrow\ 256-6\left(64\right)+m\left(16\right)+4n-8=0

     256384+16m+4n8=0\Leftrightarrow\ 256-384+16m+4n-8=0

     136+16m+4n=0\Leftrightarrow\ -136+16m+4n=0

     16m+4n=136\Leftrightarrow\ 16m+4n=136

     4m+n=34\Leftrightarrow\ 4m+n=34 ...(1)

    Jika x4=2x_4=2 adalah akar dari f(x)f\left(x\right), maka f(2)=0f\left(2\right)=0 sehingga

    f(2)=0f\left(2\right)=0

     (2)46(2)3+m(2)2+n(2)8=0\Leftrightarrow\ \left(2\right)^4-6\left(2\right)^3+m\left(2\right)^2+n\left(2\right)-8=0

     166(8)+m(4)+2n8=0\Leftrightarrow\ 16-6\left(8\right)+m\left(4\right)+2n-8=0

     1648+4m+2n8=0\Leftrightarrow\ 16-48+4m+2n-8=0

     40+4m+2n=0\Leftrightarrow\ -40+4m+2n=0

     4m+2n=40\Leftrightarrow\ 4m+2n=40

     2m+n=20\Leftrightarrow\ 2m+n=20 ...(2)

    Eliminasikan persamaan (1) dan (2)

    Substitusikan m=7m=7 ke salah satu persamaan

    2m+n=202m+n=20

     2(7)+n=20\Leftrightarrow\ 2\left(7\right)+n=20

     14+n=20\Leftrightarrow\ 14+n=20

     n=2014\Leftrightarrow\ n=20-14

     n=6\Leftrightarrow\ n=6

    Jadi, nilai mm dan nn berturut-turut adalah 7 dan 6.

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis