Contoh Soal

Persamaan Trigonometri – Matematika Peminatan SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

    1.

    Perhatikan pernyataan di bawah ini!

    1. Nilai xx yang memenuhi dari tanx=tan25\tan x=\tan25^{\circ} adalah 205205^{\circ}
    2. Salah satu dari rumus persamaan trigonometri sinx=sina\sin x=\sin a adalah x=(2πa)+kπx=\left(2\pi-a\right)+k\pi
    3. Nilai xx yang memenuhi dari cosx=cos60\cos x=\cos60^{\circ} adalah 300300^{\circ}
    4. Salah satu dari rumus persamaan trigonometri cosx=cosa\cos x=\cos a adalah x=a2kπx=a-2k\pi

    Maka dari pernyataan di atas yang benar adalah ......

    A

    1 dan 3

    B

    3

    C

    1

    D

    Semua benar

    E

    2 dan 4

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Terdapat 4 buah pernyataan:

    1. Nilai x yang memenuhi dari tanx=tan25\tan x=\tan25^{\circ} adalah 215215^{\circ}
    2. Rumus persamaan trigonometri sinx=sina\sin x=\sin a adalah x=(2πa)+kπx=\left(2\pi-a\right)+k\pi
    3. Nilai x yang memenuhi dari cosx=cos60\cos x=\cos60^{\circ} adalah 300300^{\circ}
    4. Nilai x yang memenuhi dari cosx=cosa\cos x=\cos a adalah x=a2kπx=a-2k\pi

    Ditanya:

    Pernyataan yang benar?

    Dijawab:

    Pernyataan 1

    Berdasarkan pada persamaan tanx=tan25\tan x=\tan25^{\circ}dan dengan mengasumsikan bahwa persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah tanx=tana\tan x=\tan a maka didapat hasil x=a+k180x=a+k\cdot180^{\circ} , maka hasil dari persamaan trigonometri pada soal dapat ditulis dengan:

     x=25+k180\leftrightarrow\ x=25^{\circ}+k\cdot180^{\circ}

    Selanjutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

    1.  x=25\ x=25^{\circ} (k=0)
    2.  x=205\ x=205^{\circ} (k=1)
    3.  x=385\ x=385^{\circ} (k=2)
    4. dst.

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 205205^{\circ}, maka pernyataan 1 benar.

    Pernyataan 2

    Rumus persamaan trigonometri sinx=sina\sin x=\sin a adalah x=a+2kπx=a+2k\pi dan x=(πa)+2kπx=\left(\pi-a\right)+2k\pi , maka pernyataan 2 salah.

    Pernyataan 3

    Berdasarkan pada persamaan cosx=cos60\cos x=\cos60^{\circ}, maka dengan mengasumsikan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah cosx=cosa\cos x=\cos a, maka terdapat 2 hasil yaitu x=a+k360x=a+k\cdot360^{\circ} dan x=a+k360x=-a+k\cdot360^{\circ} sehingga kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

    x=60+k360x=60^{\circ}+k\cdot360^{\circ}

    Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

    1. x=60x=60^{\circ} (k=0)
    2. x=420x=420^{\circ} (k=1)
    3. dst.

    x=60+k360x=-60^{\circ}+k\cdot360^{\circ}

    Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

    1. x=60x=-60^{\circ}(k=0)
    2. x=300x=300^{\circ} (k=1)
    3. dst.

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 300300^{\circ}, maka pernyataan 3 benar.

    Pernyataan 4

    Rumus persamaan trigonometri cosx=cosa\cos x=\cos a adalah x=a+2kπx=a+2k\pi dan x=a+2kπx=-a+2k\pi, maka pernyataan 4 salah.

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa penyataan yang benar adalah pernyataan 1 dan pernyataan 3.

    2.

    Jika cosx=cos60°\cos x=\cos60\degree untuk 0°x360°0\degree\le x\le360\degree maka himpunan penyelesaiannya adalah ....

    A

    x={60°+(360 . k)°}x=\left\{60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={60°+(360 . k)°}x=\left\{-60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    B

    x={120°+(360 . k)°}x=\left\{120\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={120°+(360 . k)°}x=\left\{-120\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    C

    x={60°+(360 . k)°}x=\left\{60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={120°+(360 . k)°}x=\left\{120\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    D

    x={60°+(180 . k)°}x=\left\{60\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={120°+(180 . k)°}x=\left\{-120\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    E

    x={60°+(360 . k)°}x=\left\{60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={60°+(180 . k)°}x=\left\{60\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    Pembahasan:

    Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri cosx=cosα°\cos x=\cos\alpha\degree digunakan aturan

    x={α°+(360 . k)°}x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={α°+(360 . k)°}x=\left\{-\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}

    Sehingga, himpunan penyelesaian cosx=cos60°\cos x=\cos60\degree adalah

    x={60°+(360 . k)°}x=\left\{60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau

    x={60°+(360 . k)°}x=\left\{-60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan k adalah bilangan bulat

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    Jika sinx=sin25°\sin x=\sin25\degree untuk 0°x360°0\degree\le x\le360\degree maka himpunan penyelesaiannya adalah ....

    A

    x={25°+(360 . k)°}x=\left\{25\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={155°+(360 . k)°}x=\left\{155\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    B

    x={25°+(360 . k)°}x=\left\{25\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={25°+(360 . k)°}x=\left\{-25\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    C

    x={155°+(360 . k)°}x=\left\{-155\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={155°+(360 . k)°}x=\left\{155\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    D

    x={25°+(180 . k)°}x=\left\{25\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={25°+(360 . k)°}x=\left\{25\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    E

    x={25°+(180 . k)°}x=\left\{25\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={155°+(180 . k)°}x=\left\{155\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\} dengan kk adalah bilangan bulat

    Pembahasan:

    Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri sinx=sinα°\sin x=\sin\alpha\degree digunakan aturan

    x={α°+(360 . k)°}x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={(180α)°+(360 . k)°}x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}

    Sehingga, himpunan penyelesaian sinx=sin25°\sin x=\sin25\degreeadalah

    x={25°+(360 . k)°}x=\left\{25\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau

    x={(18025)°+(360 . k)°}x=\left\{\left(180-25\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}

    x={155°+(360 . k)°}x=\left\{155\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} dengan k adalah bilangan bulat

    4.

    Terdapat sebuah persamaan trigonometri cos3xsin(2x2π3)=0\cos3x-\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=0, maka salah satu nilai dari xx dapat didefinisikan sebagai ....

    A

    x=7π302kπ5x=\frac{7\pi}{30}-\frac{2k\pi}{5}

    B

    x=7π6+2kπx=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi

    C

    x=7π6+2kπ5x=\frac{7\pi}{6}+\frac{2k\pi}{5}

    D

    x=7π30+2kπ5x=-\frac{7\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}

    E

    x=7π30+2kπx=-\frac{7\pi}{30}+2k\pi

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Terdapat sebuah persamaan trigonometri cos3xsin(2x2π3)=0\cos 3x-\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)=0 .

    Ditanya:

    Salah satu nilai dari xx ?

    Dijawab:

     cos3xsin(2x2π3)=0\leftrightarrow\ \cos3x-\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=0

     cos3x=sin(2x2π3)\leftrightarrow\ \cos3x=\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)

     sin(π23x)=sin(2x2π3)\leftrightarrow\ \sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right) (menggunakan identitas trigonometri)

    Dengan mengasumsikan bahwa persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah sinx=sina \sin x=\sin a\ , maka terdapat 2 hasil yaitu x=a+2kπx=a+2k\pi dan x=(πa)+2kπx=\left(\pi-a\right)+2k\pi mengingat periode dari sinus adalah 2π2\pi. Maka jika x x\ dimisalkan sebagai π23x\frac{\pi}{2}-3x dan aa dimisalkan sebagai 2x2π32x-\frac{2\pi}{3} kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

    Kemungkinan 1

    π23x=2x2π3+2kπ\frac{\pi}{2}-3x=2x-\frac{2\pi}{3}+2k\pi

    2x3x=π22π3+2kπ\leftrightarrow-2x-3x=-\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi

    5x=7π6+2kπ\leftrightarrow-5x=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi

    x=7π302kπ5\leftrightarrow x=\frac{7\pi}{30}-\frac{2k\pi}{5}

    Kemungkinan 2

    π23x=π(2x2π3)+2kπ\frac{\pi}{2}-3x=\pi-\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)+2k\pi

    π23x=π2x+2π3+2kπ\leftrightarrow\frac{\pi}{2}-3x=\pi-2x+\frac{2\pi}{3}+2k\pi

    2x3x=ππ2+2π3+2kπ\leftrightarrow2x-3x=\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}+2k\pi

    x=7π6+2kπ\leftrightarrow-x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi

    x=7π62kπ\leftrightarrow x=-\frac{7\pi}{6}-2k\pi

    Sehingga dari data di atas, dapat didefinisikan bahwa nilai dari xx adalah: x=7π302kπ5x=\frac{7\pi}{30}-\frac{2k\pi}{5} dan x=7π62kπx=-\frac{7\pi}{6}-2k\pi

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sinx=sin75°\sin x=\sin75\degree dengan 0°x360°0\degree\le x\le360\degree adalah ....

    A

    {75°,105°}\left\{75\degree,105\degree\right\}

    B

    {80°,175°}\left\{80\degree,175\degree\right\}

    C

    {85°,105°}\left\{85\degree,105\degree\right\}

    D

    {105°,125°}\left\{105\degree,125\degree\right\}

    E

    {75°,89°}\left\{75\degree,89\degree\right\}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    sinx=sin75°\sin x=\sin75\degree

    0°x360°0\degree\le x\le360\degree

    Ditanya:

    Himpunan penyelesaian =?=?

    Jawab:

    Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri untuk sinus dapat digunakan aturan

    Dalam derajat

    sinx=sinα°\sin x=\sin\alpha\degree memiliki dua kemungkinan yaitu

    x={α°+(360 . k)°}x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={(180α)°+(360 . k)°}x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}

    Dalam radian

    sinx=sinα\sin x=\sin\alpha memiliki dua kemungkinan yaitu

    x={α+2πk}x=\left\{\alpha+2\pi k\right\} atau x={(πα)+2πk}x=\left\{\left(\pi-\alpha\right)+2\pi k\right\}

    Karena diketahui 0x360°0\le x\le360\degree maka gunakan aturan dalam derajat.

    sinx=sin75°\sin x=\sin75\degree

    Kemungkinan 1

    x=75°+(360 . k)°x=75\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree

    untuk k=0k=0 diperoleh

    x=75°+(360 . 0)°x=75\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree

    x=75°+0°x=75\degree+0\degree

    x=75°x=75\degree

    untuk k=1k=1 diperoleh

    x=75°+(360 . 1)°x=75\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree

    x=75°+360°x=75\degree+360\degree

    x=435°x=435\degree (tidak memenuhi interval)

    Kemungkinan 2

    x=(18075)°+(360 . k)°x=\left(180-75\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree

    x=105°+(360 . k)°x=105\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree

    untuk k=0k=0 diperoleh

    x=105°+(360 . 0)°x=105\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree

    x=105°+0°x=105\degree+0\degree

    x=105°x=105\degree

    untuk k=1k=1 diperoleh

    x=105°+(360 . 1)°x=105\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree

    x=105°+360°x=105\degree+360\degree

    x=465°x=465\degree (tidak memenuhi interval)

    Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {75°,105°}\left\{75\degree,105\degree\right\}

    6.

    Himpunan penyelesaian untuk persamaan trigonometri 3sin(2A)cot(2A)sin(2A)=0\sqrt{3}\sin\left(2A\right)\cot\left(2A\right)-\sin\left(2A\right)=0 pada interval 0x2π0\le x\le2\pi adalah ....

    A

    {π6,2π3,7π6,5π3}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{3}\right\}

    B

    {π6,π2,2π3,π,7π6,3π2,5π3,2π}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3},2\pi\right\}

    C

    {π6,7π6}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}

    D

    {π6,3π4,5π4,7π4}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}

    E

    {0,π,2π}\left\{0,\pi,2\pi\right\}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Terdapat sebuah persamaan trigonometri 3sin(2A)cot(2A)sin(2A)=0\sqrt{3}\sin \left(2A\right)\cot \left(2A\right)-\sin \left(2A\right)=0 .

    Ditanya:

    Himpunan penyelesaian pada interval 0x2π0\le x\le2\pi ?

    Dijawab:

     3sin(2A)cot(2A)sin(2A)=0\leftrightarrow\ \sqrt{3}\sin\left(2A\right)\cot\left(2A\right)-\sin\left(2A\right)=0

     sin(2A)(3cot(2A)1)=0\leftrightarrow\ \sin\left(2A\right)\left(\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1\right)=0

    Sehingga mendapat 2 hasil, yaitu:

    Himpunan penyelesaian pertama

    sin(2A)=0\sin\left(2A\right)=0

    Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah sinx=sina \sin x=\sin a\ , maka terdapat 2 hasil yaitu x=a+k2πx=a+k\cdot2\pi dan x=(πa)+k2πx=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi mengingat periode dari sinus adalah 2π2\pi . Maka jika x x\ dimisalkan sebagai 2A2A dan aa dimisalkan sebagai π\pi, kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

    Kemungkinan 1

    2A=π+2πk2A=\pi+2\pi k

     2A=2kπ\leftrightarrow\ 2A=2k\pi

     A=kπ\leftrightarrow\ A=k\pi

    Karena cotπ\cot\pi dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

    Kemungkinan 2

    2A=(ππ)+2πk2A=\left(\pi-\pi\right)+2\pi k

     2A=0+2kπ\leftrightarrow\ 2A=0+2k\pi

     A=kπ\leftrightarrow\ A=k\pi

    Karena cotπ\cot\pi dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

    Himpunan penyelesaian kedua

    3cot(2A)1=0\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1=0

     3cot(2A)=1\leftrightarrow\ \sqrt{3}\cot\left(2A\right)=1

    cot(2A)=13\leftrightarrow\cot\left(2A\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}

    tan(2A)=3\leftrightarrow\tan\left(2A\right)=\sqrt{3}

    Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah tanx=tana\tan x=\tan a maka didapat hasil x=a+kπx=a+k\pi:

     2A=π3+kπ\leftrightarrow\ 2A=\frac{\pi}{3}+k\pi

     A=π6+kπ2\leftrightarrow\ A=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}

    Selanjutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,+-1,+-2,dst.:

    1. A=π6A=\frac{\pi}{6} (k=0)
    2. A=4π6=2π3A=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3} (k=1)
    3. A=7π6A=\frac{7\pi}{6} (k=2)
    4. A=10π6=5π3A=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3} (k=3)
    5. A=13π6A=\frac{13\pi}{6} (k=4) [tidak memenuhi karena di luar interval]

    Maka dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas pada interval yang telah ditentukan adalah {π6,2π3,7π6,5π3}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{3}\right\}.

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Jika x1x_1 dan x2x_2 adalah solusi dari persamaan trigonometri 2secx15cosx=02\sec x-1-5\cos x=0 untuk 0xπ0\le x\le\pi dan xπ2x\ne\frac{\pi}{2} maka nilai dari cosx1+cosx2=....\cos x_1+\cos x_2=....

    A

    15-\frac{1}{5}

    B

    15\frac{1}{5}

    C

    13-\frac{1}{3}

    D

    13\frac{1}{3}

    E

    23\frac{2}{3}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    2secx15cosx=02\sec x-1-5\cos x=0

    0xπ0\le x\le\pi dan xπ2x\ne\frac{\pi}{2}

    Ditanya:

    cosx1+cosx2=?\cos x_1+\cos x_2=?

    Jawab:

    Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

    Ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat

    Ingat bahwa secx=1cosx\sec x=\frac{1}{\cos x} maka

    2secx15cosx=02\sec x-1-5\cos x=0

    2(1cosx)15cosx=02\left(\frac{1}{\cos x}\right)-1-5\cos x=0

    Kalikan kedua ruas dengan cosx\cos x

    2cosx5cos2x=02-\cos x-5\cos^2x=0

    5cos2xcosx+2=0-5\cos^2x-\cos x+2=0

    Mencari nilai cosx1+cosx2\cos x_1+\cos x_2

    Rumus jumlah akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 adalah

    x1+x2=bax_1+x_2=-\frac{b}{a}

    Sehingga,

    cosx1+cosx2=(1)(5)\cos x_1+\cos x_2=-\frac{\left(-1\right)}{\left(-5\right)}

    cosx1+cosx2=15\cos x_1+\cos x_2=-\frac{1}{5}

    8.

    Jika tan2θ2tanθ=1\tan^2\theta-2\tan\theta=-1 untuk 0°θ360°0\degree\le\theta\le360\degree maka perbandingan nilai θ\theta terbesar dan terkecil adalah ....

    A

    5:15:1

    B

    1:51:5

    C

    2:12:1

    D

    1:21:2

    E

    5:75:7

    Pembahasan:

    Diketahui:

    tan2θ2tanθ=1\tan^2\theta-2\tan\theta=-1

    0°θ360°0\degree\le\theta\le360\degree

    Ditanya:

    Perbandingan nilai θ\theta terbesar dan terkecil =?=?

    Jawab:

    Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

    Ubah dalam bentuk persamaan kuadrat

    tan2θ2tanθ=1\tan^2\theta-2\tan\theta=-1

    tan2θ2tanθ+1=0\tan^2\theta-2\tan\theta+1=0

    Misalkan x=tanθx=\tan\theta maka

    x22x+1=0x^2-2x+1=0

    Mencari akar persamaan kuadrat

    x22x+1=0x^2-2x+1=0

    (x1)(x1)=0\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0

    x1=0x-1=0

    x=1x=1

    Karena x=tanθx=\tan\theta maka tanθ=1\tan\theta=1

    Mencari nilai θ\theta yang memenuhi

    tanθ=1\tan\theta=1

    tanθ=tan45°\tan\theta=\tan45\degree

    tanx=tanα°\tan x=\tan\alpha\degree memiliki kemungkinan

    x={α°+(180 . k)°}x=\left\{\alpha\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\}

    sehingga

    θ=45°+(180 . k)°\theta=45\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree

    untuk k=0k=0 diperoleh

    θ=45°+(180 . 0)°\theta=45\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree

    θ=45°+0°\theta=45\degree+0\degree

    θ=45°\theta=45\degree

    untuk k=1k=1 diperoleh

    θ=45°+(180 . 1)°\theta=45\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree

    θ=45°+180°\theta=45\degree+180\degree

    θ=225°\theta=225\degree

    untuk k=2k=2 diperoleh

    θ=45°+(180 . 2)°\theta=45\degree+\left(180\ .\ 2\right)\degree

    θ=45°+360°\theta=45\degree+360\degree

    θ=405°\theta=405\degree (tidak memenuhi)

    Sehingga nilai θ\theta yang memenuhi adalah 45°45\degree dan 225°225\degree

    Perbandingan nilai θ\theta terbesar dan terkecil =225°:45°=225\degree:45\degree

    =5:1=5:1

    Jadi, perbandingan nilai θ\theta terbesar dan terkecil adalah 5:15:1

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Nilai xx yang memenuhi persamaan trigonometri 2sin2x43cosx4=02\sin^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0 untuk 0°x360°0\degree\le x\le360\degree adalah ....

    A

    240°240\degree

    B

    135°135\degree

    C

    270°270\degree

    D

    330°330\degree

    E

    60°60\degree

    Pembahasan:

    Diketahui:

    2sin2x43cosx4=02\sin^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0

    Ditanya:

    x=?x=?

    Jawab:

    Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

    Ubah menjadi persamaan kuadrat

    2sin2x43cosx4=02\sin^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0

    Ingat kembali bahwa sin2x=1cos2x\sin^2x=1-\cos^2x maka

    2(1cos2x4)3cosx4=02\left(1-\cos^2\frac{x}{4}\right)-3\cos\frac{x}{4}=0

    22cos2x43cosx4=02-2\cos^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0

    Kalikan kedua ruas dengan 1-1

    2cos2x4+3cos2x42=02\cos^2\frac{x}{4}+3\cos^2\frac{x}{4}-2=0

    Mencari akar-akar persamaan

    2cos2x4+3cos2x42=02\cos^2\frac{x}{4}+3\cos^2\frac{x}{4}-2=0

    (2cosx41)(cosx4+2)=0\left(2\cos\frac{x}{4}-1\right)\left(\cos\frac{x}{4}+2\right)=0

    (2cosx41)=0\left(2\cos\frac{x}{4}-1\right)=0 atau (cosx4+2)=0\left(\cos\frac{x}{4}+2\right)=0

    2cosx41=02\cos\frac{x}{4}-1=0

    2cosx4=12\cos\frac{x}{4}=1

    cosx4=12\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{2}

    atau

    cosx4+2=0\cos\frac{x}{4}+2=0

    cosx4=2\cos\frac{x}{4}=-2 tidak memenuhi karena nilai cosinus berada pada 1cosx1-1\le\cos x\le1

    Mencari himpunan penyelesaian

    cosx4=12\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{2}

    cosx4=cos60°\cos\frac{x}{4}=\cos60\degree

    Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri cosx=cosα°\cos x=\cos\alpha\degree digunakan aturan

    x={α°+(360 . k)°}x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\} atau x={α°+(360 . k)°}x=\left\{-\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}

    Kemungkinan 1

    x4=60°+(360 . k)°\frac{x}{4}=60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree

    x=240°+(1.440 . k)°x=240\degree+\left(1.440\ .\ k\right)\degree

    untuk k=0k=0 diperoleh

    x=240°+(1.440 . 0)°x=240\degree+\left(1.440\ .\ 0\right)\degree

    x=240°+0°x=240\degree+0\degree

    x=240°x=240\degree

    untuk k=1k=1 diperoleh

    x=240°+(1.440 . 1)°x=240\degree+\left(1.440\ .\ 1\right)\degree

    x=240°+1.440°x=240\degree+1.440\degree

    x=1.680°x=1.680\degree (tidak memenuhi)

    Kemungkinan 2

    x4=60°+(360 . k)°\frac{x}{4}=-60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree

    x=240°+(1.440. k)°x=-240\degree+\left(1.440.\ k\right)\degree

    untuk k=0k=0 diperoleh

    x=240°+(1.440. 0)°x=-240\degree+\left(1.440.\ 0\right)\degree

    x=240°+0°x=-240\degree+0\degree

    x=240°x=-240\degree (tidak memenuhi)

    untuk k=1k=1 diperoleh

    x=240°+(1.440. 1)°x=-240\degree+\left(1.440.\ 1\right)\degree

    x=240°+1.440°x=-240\degree+1.440\degree

    x=1.200°x=1.200\degree (tidak memenuhi)

    Jadi, nilai xx yang memenuhi adalah 240°240\degree

    10.

    Jika 7tan2x=247\tan2x=24, maka nilai dari sin3x\sin3x adalah ........

    A

    75125\frac{75}{125}

    B

    225125\frac{225}{125}

    C

    117125\frac{117}{125}

    D

    108125\frac{108}{125}

    E

    27125\frac{27}{125}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    7tan2x=247\tan2x=24

    Ditanya:

    sin3x\sin3x?

    Dijawab:

    Berdasarkan soal, nilai dari 7tan2x7\tan2x adalah 24 yang mana dapat dilihat bahwa nilai dari tan2x\tan2x adalah 247\frac{24}{7} sehingga dapat digambarkan kedalam sebuah segitiga seperti demikian:

    *) Nilai setiap sisinya didapat menggunakan rumus teorema phytagoras.

    Maka, dapat dilihat bahwa nilai dari cos2x\cos2x adalah 725\frac{7}{25} , dimana selanjutnya akan dilakukan penghitungan:

     cos2x=725\leftrightarrow\ \cos2x=\frac{7}{25}

     12sin2x=725\leftrightarrow\ 1-2\sin^2x=\frac{7}{25}

     2sin2x=7251\leftrightarrow\ -2\sin^2x=\frac{7}{25}-1

     2sin2x=7252525\leftrightarrow\ -2\sin^2x=\frac{7}{25}-\frac{25}{25}

     2sin2x=1825\leftrightarrow\ -2\sin^2x=-\frac{18}{25}

     sin2x=182512\leftrightarrow\ \sin^2x=\frac{18}{25}\cdot\frac{1}{2}

     sin2x=925\leftrightarrow\ \sin^2x=\frac{9}{25}

     sinx=35\leftrightarrow\ \sin x=\frac{3}{5}

    Berikutnya dihitung nilai dari sin3x\sin3x :

    =sin(2x+x)=\sin\left(2x+x\right)

    =sin2xcosx+cos2xsinx=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x

    =2sinxcosxcosx+(12sin2x)sinx=2\cdot\sin x\cdot\cos x\cdot\cos x+\left(1-2\sin^2x\right)\cdot\sin x

    =2sinxcos2x+(12sin2x)sinx=2\cdot\sin x\cdot\cos^2x+\left(1-2\sin^2x\right)\cdot\sin x

    =2sinxcos2x+sinx2sin3x=2\cdot\sin x\cdot\cos^2x+\sin x-2\sin^3x

    =2sinx(1sin2x)+sinx2sin3x=2\cdot\sin x\cdot\left(1-\sin^2x\right)+\sin x-2\sin^3x

    =2sinx2sin3x+sinx2sin3x=2\cdot\sin x-2\sin^3x+\sin x-2\sin^3x

    =3sinx4sin3x=3\sin x-4\sin^3x

    Selanjutnya disubstitusikan nilai sinx\sin x kedalam hitungan tersebut:

    =3354(35)3=3\cdot\frac{3}{5}-4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3

    =95427125=\frac{9}{5}-4\cdot\frac{27}{125}

    =95108125=\frac{9}{5}-\frac{108}{125}

    =225125108125=\frac{225}{125}-\frac{108}{125}

    =117125=\frac{117}{125}

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis