Contoh Soal

Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponensial – Matematika Peminatan SMA

Sampel materi untuk guru yang ingin cari soal latihan. Temukan bank soal lengkap dan update dengan cara mendaftar gratis. Kirim soal-soal ini ke murid di kelas Bapak/Ibu Guru lewat Google Classroom, dalam bentuk kuis online, tautan kuis, file kuis, atau cetak langsung!

    1.

    8 ; 4 ; 12 ; (116)1 ;  20,3\sqrt{8}\ ;\ 4\ ;\ \frac{1}{2}\ ;\ \left(\frac{1}{16}\right)^{-1}\ ;\ \ 2^{0,3}

    Urutan bilangan di atas mulai dari yang terbesar hingga terkecil adalah ....

    A

    (116)1 >4 >8>20,3 > 12\left(\frac{1}{16}\right)^{-1\ }>4\ >\sqrt{8}>2^{0,3}\ >\ \frac{1}{2}

    B

    8 >4 >20,3 > 12 >(116)1\sqrt{8}\ >4\ >2^{0,3}\ >\ \frac{1}{2}\ >\left(\frac{1}{16}\right)^{-1}

    C

    (116)1 >20,3 >8 >4  > 12\left(\frac{1}{16}\right)^{-1\ }>2^{0,3}\ >\sqrt{8}\ >4\ \ >\ \frac{1}{2}

    D

    (116)1 >8 >4 >12>20,3 \left(\frac{1}{16}\right)^{-1\ }>\sqrt{8}\ >4\ >\frac{1}{2}>2^{0,3}\

    E

    12>20,3>4>8>(116)1 \frac{1}{2}>2^{0,3}>4>\sqrt{8}>\left(\frac{1}{16}\right)^{-1\ }

    Pembahasan:

    Akan dicek pada setiap jawaban yang ada.

    Basis disamakan pada setiap bilangan yang ada.

    Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen seperti ap=1apa^{-p}=\frac{1}{a^p} dan a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

    Perhatikan bilangan pertama!

    8=(2)3=232\sqrt{8}=\sqrt{\left(2\right)^3}=2^{\frac{3}{2}}

    Perhatikan bilangan kedua!

    4=224=2^2

    Perhatikan bilangan ketiga!

    12=21\frac{1}{2}=2^{-1}

    Perhatikan bilangan keempat!

    (116)1=(124)1=(24)1=24×1=24\left(\frac{1}{16}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{2^4}\right)^{-1}=\left(2^{-4}\right)^{-1}=2^{-4\times-1}=2^4

    Perhatikan bilangan kelima!

    20,3=23102^{0,3}=2^{\frac{3}{10}}

    Karena semua basis telah sama, urutan bilangan terbesar hingga terkecil dapat dilihat dari pangkatnya.

    Jadi, urutan bilangan eksponen terbesar hingga terkecil adalah (116)1 >4 >8>20,3 > 12\left(\frac{1}{16}\right)^{-1\ }>4\ >\sqrt{8}>2^{0,3}\ >\ \frac{1}{2}

    2.

    Fungsi manakah yang menunjukkan pertumbuhan eksponensial?

    A

    12x2+1\frac{1}{2}x^2+1

    B

    2000(1.82)x2000\cdot\left(1.82\right)^x

    C

    20000.82x2000\cdot0.82^x

    D

    x3+x2x^3+x^2

    E

    x-x

    Pembahasan:

    Untuk mengetahui manakah yang termasuk fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan positif, kita perlu melihat kelima opsi yang ada terlebih dahulu. Fungsi eksponensial dengan laju pertumbuhan positif didefinisikan sebagai berikut:

    y = abxy\ =\ ab^x

    dengan syarat b > 1.

    Opsi 1:

    12x2+1\frac{1}{2}x^2+1

    Fungsi ini adalah fungsi kuadrat, jadi opsi ini salah.

    Opsi 2:

    20000.82x2000\cdot0.82^x

    Fungsi ini adalah fungsi eksponensial, tapi nilai b < 1, sehingga tidak memenuhi syarat. Opsi ini salah.

    Opsi 3:

    x3+x2x^3+x^2

    Fungsi ini adalah fungsi polinomial (y = axn+bxn1+cxn2+...+ky\ =\ ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+k). Opsi ini salah.

    Opsi 4:

    x-x

    Fungsi ini adalah fungsi linear. Opsi ini salah.

    Opsi 5:

    2000(1.82)x2000\cdot\left(1.82\right)^x

    Fungsi ini adalah fungsi eksponensial dengan b > 1. Opsi ini benar.

    Ingin coba latihan soal dengan kuis online?

    Kejar Kuis
    3.

    Persamaan asimtot datar dari fungsi y=42x+35y=4^{2x+3}-5 adalah ....

    A

    y=5y=-5

    B

    y=5y=5

    C

    y=15y=\frac{1}{5}

    D

    x=5x=-5

    E

    x=5x=5

    Pembahasan:

    Bentuk umum fungsi eksponen adalah f(x)=pax+b+cf\left(x\right)=p^{ax+b}+c , asimtot datar pada fungsi eksponen adalah y=cy=c

    Jadi, asimtot datar pada y=42x+35y=4^{2x+3}-5 adalah y=5y=-5

    4.

    Di bawah ini yang merupakan sifat-sifat eksponen yang benar adalah ....

    1. 23×26=2182^3\times2^6=2^{18}
    2. (23)4=2434\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4}
    3. 54÷5 = 535^4\div5\ =\ 5^3
    4. (8×3)2=82+32\left(8\times3\right)^2=8^2+3^2
    5. (75)4=720\left(7^5\right)^4=7^{20}
    A

    1, 2, 3

    B

    1, 2, 4

    C

    1, 3, 5

    D

    2, 3, 5

    E

    2, 4, 5

    Pembahasan:

    Akan dicek pada setiap jawaban yang ada.

    Perhatikan pernyataan nomor 1!

    Sifat eksponen am×an = am+na^m\times a^n\ =\ a^{m+n}

    Pada pilihan jawaban 23×26 = 23×6=2182^3\times2^6\ =\ 2^{3\times6}=2^{18} tidak tepat, seharusnya 23×26 = 23+6=292^3\times2^6\ =\ 2^{3+6}=2^9. Maka pilihan jawaban 1 bukan merupakan sifat eksponen yang tepat.

    Perhatikan pernyataan nomor 2!

    Sifat eksponen (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

    Pada pilihan jawaban (23)4=2434\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4} , maka pilihan jawaban 2 merupakan sifat eksponen yang tepat.

    Perhatikan pernyataan nomor 3!

    Sifat eksponen am÷an= amna^m\div a^n=\ a^{m-n}

    Pada pilihan jawaban 54÷5=541=535^4\div5=5^{4-1}=5^3 , maka pilihan jawaban 3 merupakan sifat eksponen yang tepat.

    Perhatikan pernyataan nomor 4!

    Sifat eksponen (a×b)m=am×bm\left(a\times b\right)^m=a^m\times b^m

    Pada pilihan jawaban (8×3)2=82+32\left(8\times3\right)^2=8^2+3^2 tidak tepat, seharusnya (8×3)2=82×32\left(8\times3\right)^2=8^2\times3^2.

    Maka pilihan jawaban 4 bukan merupakan sifat eksponen yang tepat.

    Perhatikan pernyataan nomor 5!

    Sifat eksponen (am)n=am×n\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}

    Pada pilihan jawaban (75)4=75×4=720\left(7^5\right)^4=7^{5\times4}=7^{20} , maka pilihan jawaban 5 merupakan sifat eksponen yang tepat.

    Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah 2,3,5.

    Ingin cari soal-soal HOTS?

    Soal HOTS
    5.

    Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan di bawah!

    3x2x+2 > 9x2x+43^{x^2-x+2}\ >\ 9^{x^2-x+4}

    A

    {x | x > 3}

    B

    {x | x > 2}

    C

    {x | x < 3}

    D

    {x | -2 < x < 3}

    E

    {x | x < 2}

    Pembahasan:

    Diketahui:

    3x2x+2 > 9x2x+43^{x^2-x+2}\ >\ 9^{x^2-x+4}

    Ditanya:

    x

    Dijawab:

    Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, pertama perlu disamakan terlebih dahulu nilai basis di kedua ruas.

    3x2x+2 > 32(x2x+4)3^{x^2-x+2}\ >\ 3^{2\left(x^2-x+4\right)}

    Dari sifat pertidaksamaan eksponensial, jika af(x) > ag(x)a^{f\left(x\right)}\ >\ a^{g\left(x\right)} dan a > 1 maka f(x) >g(x)f\left(x\right)\ >g\left(x\right).

    x2x+2 > 2(x2x+4)x^2-x+2\ >\ 2\left(x^2-x+4\right)

    x2x+2 > 2x22x+8x^2-x+2\ >\ 2x^2-2x+8

    0 > x2  x + 6 0\ >\ x^2\ -\ x\ +\ 6\

    Atau bisa juga ditulis:

    x2  x + 6 < 0x^2\ -\ x\ +\ 6\ <\ 0

    Faktorkan ruas kiri:

    (x3)(x+2) < 0\left(x-3\right)\left(x+2\right)\ <\ 0

    Hasil garis bilangannya adalah:

    HP: {x | -2 < x < 3}

    6.

    Jumlah nilai x yang memenuhi sistem persamaan

    adalah....

    A

    28

    B

    -28

    C

    15

    D

    -15

    E

    0

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Ditanya:

    Jumlah nilai x

    Dijawab:

    Persamaan pertama adalah bentuk persamaan eksponensial. Kedua ruas memiliki basis dasar yang sama, yaitu 3. Karena 1243 = 35\frac{1}{243}\ =\ 3^{-5} :

    34x+y = 353^{4x+y}\ =\ 3^{-5}

    4x+y =54x+y\ =-5

    y = 54xy\ =\ -5-4x ...(3)

    Substitusikan persamaan (3) ke persamaan kedua:

    x2+7(54x) = 25x^2+7\left(-5-4x\right)\ =\ 25

    x2+3528x = 25x^2+-35-28x\ =\ 25

    x228x60 = 0x^2-28x-60\ =\ 0

    Faktorkan persamaan kuadrat di atas:

    (x30)(x+2)= 0\left(x-30\right)\left(x+2\right)=\ 0

    x = 30 atau x = 2x\ =\ 30\ atau\ x\ =\ -2

    Jumlah nilai x = 30+(2) = 2830+\left(-2\right)\ =\ 28

    Ingin cari soal-soal AKM?

    Hubungi Kami
    7.

    Jika diketahui sistem persamaan di bawah ini:

    tentukan nilai x + 2y!

    A

    -3

    B

    5

    C

    3

    D

    -5

    E

    -1

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Sistem persamaan

    Ditanya:

    x + 2yx\ +\ 2y

    Dijawab:

    Pada persamaan pertama dapat disamakan dulu basisnya:

    23x4y = 282^{3x-4y}\ =\ 2^{-8}

    Karena basisnya sudah sama, kita dapat samakan pangkatnya:

    3x  4y = 83x\ -\ 4y\ =\ -8

    Eliminasi dengan persamaan kedua akan diperoleh:

    x = 25x\ =\ -\frac{2}{5}

    Masukkan nilai x ini ke persamaan mana pun, semisal persamaan kedua:

    25+2y =3-\frac{2}{5}+2y\ =3

    2y = 3 + 25 = 1752y\ =\ 3\ +\ \frac{2}{5}\ =\ \frac{17}{5}

    y = 1710y\ =\ \frac{17}{10}

    Kemudian hitung nilai x + 2yx\ +\ 2y:

    x + 2y = 25+175x\ +\ 2y\ =\ -\frac{2}{5}+\frac{17}{5}

    =155 = 3=\frac{15}{5}\ =\ 3

    Jadi, hasil dari x + 2y adalah 3.

    8.

    Himpunan penyelesaian dari persamaan 83x22x8=53x22x88^{3x^2-2x-8}=5^{3x^2-2x-8} adalah ....

    A

    HP={43,2}HP=\left\{-\frac{4}{3},2\right\}

    B

    HP={2,43}HP=\left\{-2,\frac{4}{3}\right\}

    C

    HP={34,2}HP=\left\{-\frac{3}{4},2\right\}

    D

    HP={2,34}HP=\left\{-2,\frac{3}{4}\right\}

    E

    HP={4,2}HP=\left\{-4,2\right\}

    Pembahasan:

    Persamaan 83x22x8=53x22x88^{3x^2-2x-8}=5^{3x^2-2x-8} sama dengan sifat eksponen af(x)=bf(x)a^{f\left(x\right)}=b^{f\left(x\right)} dimana a dan b>0 serta a dan b 1a\ dan\ b>0\ serta\ a\ dan\ b\ \ne1, dapat diselesaikan dengan f(x)=0f\left(x\right)=0

    83x22x8=53x22x8\Leftrightarrow8^{3x^2-2x-8}=5^{3x^2-2x-8}

    3x22x8=0\Leftrightarrow3x^2-2x-8=0

     (3x+4)(x2)=0\Leftrightarrow\ \left(3x+4\right)\left(x-2\right)=0

     x=43 dan x=2\Leftrightarrow\ x=-\frac{4}{3}\ dan\ x=2

    Jadi, HP={43,2}HP=\left\{-\frac{4}{3},2\right\}

    Ingin tanya tutor?

    Tanya Tutor
    9.

    Grafik fungsi f(x)=5(13)2xf\left(x\right)=5\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} digeser ke kanan 1 satuan, lalu digeser ke bawah 3 satuan menghasilkan grafik fungsi h(x).h\left(x\right). Nilai h(2)h(0)h\left(-2\right)-h\left(0\right) adalah ....

    A

    3.600

    B

    3.400

    C

    3.200

    D

    3.000

    E

    3.800

    Pembahasan:

    Diketahui:

    f(x)=5(13)2xf\left(x\right)=5\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} digeser ke kanan 1 satuan, lalu digeser ke bawah 3 satuan menghasilkan grafik fungsi h(x).h\left(x\right).

    Ditanya:

    Nilai h(2)h(0)=?h\left(-2\right)-h\left(0\right)=?

    Jawab:

    Diketahui f(x)=5(13)2x.f\left(x\right)=5\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}.

    Ingat bahwa,

    untuk a>0,a>0, grafik y=f(xa)y=f\left(x-a\right) artinya menggeser grafik y=f(x)y=f\left(x\right) sejauh aa ke arah kanan pada sumbu XX

    untuk b>0b>0, grafik y=f(x)by=f\left(x\right)-b artinya menggeser grafik y=f(x)y=f\left(x\right) sejauh bb ke arah bawah pada sumbu YY.

    Dari informasi yang diberikan, didapatkan bahwa h(x)=f(x1)3.h\left(x\right)=f\left(x-1\right)-3.

    Dengan demikian,

    h(2)h(0)=(f(21)3)(f(01)3)h\left(-2\right)-h\left(0\right)=\left(f\left(-2-1\right)-3\right)-\left(f\left(0-1\right)-3\right)

                             =f(3)3f(1)+3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f\left(-3\right)-3-f\left(-1\right)+3

                             =f(3)f(1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f\left(-3\right)-f\left(-1\right)

                             =5(13)2(3)5(13)2(1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(\frac{1}{3}\right)^{2\left(-3\right)}-5\left(\frac{1}{3}\right)^{2\left(-1\right)}

                             =5(13)65(13)2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}-5\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}

                             =5(1(13)6)5(1(13)2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^6}\right)-5\left(\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\right)

                             =5(36)5(32)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(3^6\right)-5\left(3^2\right)

                             =572959\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\cdot729-5\cdot9

                             =5(7299)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(729-9\right)

                             =5(720)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5\left(720\right)

                             =3.600\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3.600

    Jadi, nilai dari h(2)h(0)h\left(-2\right)-h\left(0\right) adalah 3.600.3.600.

    10.

    Grafik fungsi f(x)=3abxf\left(x\right)=-3^{a-bx} memotong sumbu -YY di titik (0,3)\left(0,-3\right). Jika grafik fungsi f(x)f\left(x\right) digeser ke bawah 3 satuan akan menghasilkan grafik fungsi g(x)g\left(x\right) yang melalui titik (2,6)\left(2,-6\right). Persamaan grafik fungsi g(x)g\left(x\right) adalah ....

    A

    3-3

    B

    2-2

    C

    6-6

    D

    99

    E

    33

    Pembahasan:

    Diketahui:

    Grafik fungsi f(x)=3abxf\left(x\right)=-3^{a-bx} memotong sumbu -YY di titik (0,3)\left(0,-3\right)

    Jika grafik fungsi f(x)f\left(x\right) digeser ke bawah 3 satuan akan menghasilkan grafik fungsi g(x)g\left(x\right) yang melalui titik (2,6)\left(2,-6\right)

    Ditanya:

    Persamaan grafik fungsi g(x)g\left(x\right)=?=?

    Jawab:

    Ingat rumus fungsi eksponensial

    ap=af(x),a^p=a^{f\left(x\right)}, maka p=f(x)p=f\left(x\right)

    Diketahui y=f(x)=3abx.y=f\left(x\right)=-3^{a-bx}.

    Karena grafik f(x)f\left(x\right) melalui titik (0,3)\left(0,-3\right), artinya x=0x=0 dan y=3y=-3, diperoleh

    3=3ab(0)-3=-3^{a-b\left(0\right)}

    31=3a-3^1=-3^a, sehingga a=1a=1.

    Sekarang, f(x)=31bx.f\left(x\right)=-3^{1-bx}.

    Jika p>0p>0, grafik y=f(x)py=f\left(x\right)-p artinya menggeser grafik y=f(x)y=f\left(x\right) sejauh pp ke arah bawah pada sumbu YY.

    Sehingga, f(x)f\left(x\right) digeser 3 satuan ke bawah menjadi g(x)g\left(x\right),

    maka itu artinya g(x)=f(x)3=3abx3.g\left(x\right)=f\left(x\right)-3=-3^{a-bx}-3.

    Karena grafik g(x)g\left(x\right) melalui titik (2,6)\left(2,-6\right), artinya x=2, y=6x=2,\ y=-6, diperoleh

    6=31b(2)3-6=-3^{1-b\left(2\right)}-3

    6+3=31b(2)-6+3=-3^{1-b\left(2\right)}

    3=31b(2)-3=-3^{1-b\left(2\right)}

    31=31b(2)-3^1=-3^{1-b\left(2\right)}

    31=312b-3^1=-3^{1-2b}

    1=12b1=1-2b

    11=2b1-1=-2b

    0=2b0=-2b

    02=b\frac{0}{-2}=b

    b=0b=0

    Dengan substitusi a=1, b=0a=1,\ b=0, ke g(x)=3abx3g\left(x\right)=-3^{a-bx}-3 diperoleh, g(x)=310(x)3g\left(x\right)=-3^{1-0\left(x\right)}-3.

    Diperoleh, g(x)=313=33=6g\left(x\right)=-3^1-3=-3-3=-6.

    Jadi, Persamaan grafik fungsi g(x)=6g\left(x\right)=-6 .

    Daftar dan dapatkan akses ke puluhan ribu soal lainnya!

    Buat Akun Gratis