Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Soal

Pilgan

Jika diketahui x2+(n3)x+(n+5)>0x^2+\left(n-3\right)x+\left(n+5\right)>0 untuk setiap xx\in R, maka nilai nn yang tidak memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah ....

A

n=34n=-\frac{3}{4}

B

n=234n=2\frac{3}{4}

C

n=614n=6\frac{1}{4}

D

n=934n=9\frac{3}{4}

E

n=1314n=13\frac{1}{4}

Pembahasan:

Diketahui:

x2+(n3)x+(n+5)>0x^2+\left(n-3\right)x+\left(n+5\right)>0 untuk setiap xx\in R

Ditanya:

Nilai nn yang tidak memenuhi?

Jawab:

Secara umum, jika diberikan grafik y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c dengan diskriminan D=b24ac<0D=b^2-4ac<0 akan terdapat dua kondisi, yaitu:

  1. Definit Positif, terjadi ketika D<0D<0 dan a>0a>0, atau secara geometris berada di atas sumbu XX.
  2. Definit Negatif, terjadi ketika D<0D<0 dan a<0a<0, atau secara geometris berada di bawah sumbu XX.

Pada soal diketahui x2+(n3)x+(n+5)>0x^2+\left(n-3\right)x+\left(n+5\right)>0 untuk setiap xx\in R. Dengan kata lain, grafik y=x2+(n3)x+(n+5)y=x^2+\left(n-3\right)x+\left(n+5\right) secara geometris berada di atas sumbu XX (karena >0>0). Artinya, memenuhi D<0D<0 dan a>0a>0 dengan a=1, b=n3,a=1,\ b=n-3, dan c=n+5c=n+5

Diperoleh

D<0D<0

b24ac<0\Leftrightarrow b^2-4ac<0

(n3)24.1.(n+5)<0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2-4.1.\left(n+5\right)<0

n26n+94(n+5)<0\Leftrightarrow n^2-6n+9-4\left(n+5\right)<0

n26n+94n20<0\Leftrightarrow n^2-6n+9-4n-20<0

n26n4n+920<0\Leftrightarrow n^2-6n-4n+9-20<0

n210n11<0\Leftrightarrow n^2-10n-11<0 . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
  2. Mencari nilai xx yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol dari pertidaksamaan (*) adalah

n210n11=0n^2-10n-11=0 . . . (**)

Nilai a, ba,\ b sehingga a+b=10a+b=-10 dan ab=11ab=-11 adalah a=11a=-11 dan b=1b=1.

Akibatnya persamaan (**) dapat difaktorkan menjadi

(n+a)(n+b)=0\left(n+a\right)\left(n+b\right)=0

(n11)(n+1)=0\Leftrightarrow\left(n-11\right)\left(n+1\right)=0   . . . (***)

Artinya,

n11=0n=11n-11=0\Leftrightarrow n=11 atau

n+1=0n=1n+1=0\Leftrightarrow n=-1

Untuk n<1n<-1, diambil sebagai sampel n=2n=-2 (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (***) diperoleh

(211)(2+1)=(13)(1)=13>0\left(-2-11\right)\left(-2+1\right)=\left(-13\right)\left(-1\right)=13>0 (bernilai positif).

Untuk 1<n<11-1<n<11, diambil sebagai sampel n=0n=0 (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (***) diperoleh

(011)(0+1)=(11).1=11<0\left(0-11\right)\left(0+1\right)=\left(-11\right).1=-11<0 (bernilai negatif).

Untuk n>11n>11, diambil sebagai sampel n=12n=12 (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (***) diperoleh

(1211)(12+1)=1.13=13>0\left(12-11\right)\left(12+1\right)=1.13=13>0 (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda <<. Artinya nilai nn yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena tanda pertidaksamaan (*) tidak memuat sama dengan, maka n=1n=-1 dan n=11n=11 tidak memenuhi pertidaksamaan (*). Nilai nn yang memenuhi adalah 1<n<11-1<n<11

Diperhatikan bahwa

1314>1113\frac{1}{4}>11

artinya, n=1314n=13\frac{1}{4} tidak memenuhi pertidaksamaan pada soal adalah n=1314n=13\frac{1}{4}

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Kuadrat Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal