Bank Soal Matematika SMA Permutasi

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Banyaknya cara menentukan juara pertama, kedua, dan ketiga suatu babak final olimpiade matematika yang diikuti oleh 5 peserta dan seseorang sudah dipastikan menjadi juara pertama adalah ....

E

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan permutasi sebagian unsur yang berbeda. Permutasi $r$ objek yang diambil dari $n$ objek berbeda, dengan $r\ \le n$ adalah $P(n,r)$ yang didefinisikan sebagai

$P(n,r)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$

Perhatikan bahwa dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap $n$ bilangan asli, didefinisikan

$n!\ =\ n\ \times n-1\ \times\ldots\ \times2\ \times1$

dan didefinisikan $0!\ =\ 1$ .

Perhatikan bahwa dalam menyusun juara pertama, kedua, dan ketiga tersebut urutan sangat diperhatikan. Misalkan A, B, C, D,E adalah kelima anak tersebut. Sebagai contoh,

Juara pertama: A,

Juara kedua: B,

Juara ketiga: C

berbeda dengan

Juara pertama: A,

Juara kedua: C,

Juara ketiga: B.

Kedua susunan tersebut dianggap berbeda karena urutannya diperhatikan. Karena seseorang sudah dipastikan memperoleh juara pertama, maka cukup dicari banyaknya cara menentukan juara kedua dan ketiga. Oleh karena itu untuk menyelesaikan soal ini dapat digunakan permutasi 4 unsur yang diambil 2 unsur.

Banyaknya cara menentukan juara pertama, kedua, dan ketiga adalah

$P\left(4,2\right)=\ \frac{4!}{\left(4-2\right)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times3\ \times2!}{2!}=4\times3\ =\ 12$