Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diberikan fungsi $g\left(x\right)=\sin 2x-\cos 2x$ . Subinterval di dalam $0\degree\le x\le360\degree$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah ....

A

$0\degree\le x\le45\degree$ atau $135\degree\le x\le225\degree$ atau $315\degree\le x\le360\degree$

B

$45\degree\le x\le1350\degree$ atau $225\degree\le x\le315\degree$

C

$0\degree\le x\le67,5\degree$ atau $157,5\degree\le x\le247,5\degree$ atau $337,5\degree\le x\le360\degree$

D

$67,5\degree\le x\le157,5\degree$ atau $247,5\degree\le x\le337,5\degree$

E

$0\degree\le x\le90\degree$ atau $180\degree\le x\le270\degree$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsii $g\left(x\right)=\sin 2x-\cos 2x$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Subinterval di dalam $0\degree\le x\le360\degree$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik?

Jawab:

Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel untuk setiap $x\in I$ berlaku

jika $f'\left(x\right)>0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)<0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ selalu turun pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)=0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (diam) pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)\ge0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)\le0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin (Ax\pm B)$ turunannya adalah $y'=A\cos (Ax\pm B)$

Untuk fungsi $y=\cos (Ax\pm B)$ turunannya adalah $y'=-A\sin (Ax\pm B)$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $g\left(x\right)=\sin 2x-\cos 2x$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$ . Turunan pertamanya adalah $g'\left(x\right)=2\cos 2x+2\sin 2x$ . Pembuat nol dari $g'\left(x\right)$ adalah

$g'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow2\cos 2x+2\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow2\sin 2x=-2\cos 2x$

$\Leftrightarrow\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{-2}{2}$

$\Leftrightarrow\tan 2x=-1$

$\Leftrightarrow\tan 2x=\tan135\degree$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\tan\left(ax+b\right)=\tan\theta$ adalah $ax+b=\theta+k180\degree$ sehingga untuk $\tan 2x=\tan135\degree$ didapat

$2x=135\degree+k180\degree$

$\Leftrightarrow x=67,5\degree+k90\degree$

untuk $k=0$ didapat $x=67,5\degree+0.90\degree=67,5\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ didapat $x=67,5\degree+1.90\degree=157,5\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ didapat $x=67,5\degree+2.90\degree=247,5\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=3$ didapat $x=67,5\degree+3.90\degree=337,5\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=4$ didapat $x=67,5\degree+4.90\degree=427,5\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya, pembuat nol dari $g'\left(x\right)$ adalah $x=\left\{67,5\degree, 157,5\degree, 247,5\degree, 337,5\degree\right\}$

Selanjutnya, cek nilai dari $g'\left(x\right)$ untuk setiap subinterval yang terbentuk.

Untuk subinterval $0\degree\le x\le67,5\degree$ dipilih $x=45\degree$ didapat

$g'\left(x\right)=2\cos (2.45\degree)+2\sin (2.45\degree)=2\cos 90\degree+2\sin 90\degree=2.0+2.1=2>0$ (positif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

yang diminta pada soal subinterval yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik atau dengan kata lain $g'\left(x\right)>0$ (positif). Jadi subinterval di dalam $0\degree\le x\le360\degree$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)=\sin 2x-\cos 2x$ selalu naik adalah $0\degree\le x\le67,5\degree$ atau $157,5\degree\le x\le247,5\degree$ atau $337,5\degree\le x\le360\degree$