Bank Soal Matematika SMA Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Diketahui:

$\sin\alpha-\sin\beta=\sqrt{A}$

$\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{B}$

Ditanya:

$2\cos\left(\alpha+\beta\right)=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan soal di atas adalah sebagai berikut.

Kuadratkan selisih sinus yang diketahui

$\sin\alpha-\sin\beta=\sqrt{A}$

$\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)^2=\left(\sqrt{A}\right)^2$

$\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=A\ ....\left(1\right)$

Kuadratkan jumlah cosinus yang diketahui

$\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{B}$

$\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)^2=\left(\sqrt{B}\right)^2$

$\cos^2\alpha+2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta=B\ ....\left(2\right)$

Jumlahkan persamaan 1 dan persamaan 2

Ingat kembali bahwa $\sin^2x+\cos^2x=1$ maka

$1-2\sin\alpha\sin\beta+2\cos\alpha\cos\beta+1=A+B$

$-2\sin\alpha\sin\beta+2\cos\alpha\cos\beta+2=A+B$

$-2\sin\alpha\sin\beta+2\cos\alpha\cos\beta=A+B-2$

$2\left(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\right)=A+B-2$

Hitung cosinus dari jumlah dua sudut

Rumus umum cosinus dari jumlah dua sudut adalah

$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Dengan demikian

$2\cos\left(\alpha+\beta\right)=2\left(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\right)$

$2\cos\left(\alpha+\beta\right)=A+B-2$