Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Kurva $f(x)=2\sin x\cos x$

Ditanya:

Gradien garis singgung kurva $f(x)=2\sin x\cos x$ di absis $x=\frac{\pi}{6}$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis singgung suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=u.v$ turunannya adalah $y'=u'v+uv'$

Dengan demikian, akan dicari turunan pertama dari kurva $f(x)=2\sin x\cos x$

Kurva yang diketahui pada soal berbentuk $f(x)=u.v$ dengan $u=2\sin x$ dan $v=\cos x$

Diperoleh

$u'=2\cos x$

$v'=-\sin x$

$f'(x)=u'v+uv'$

$\Leftrightarrow f'(x)=2\cos x\cos x+2\sin x(-\sin x)$

$\Leftrightarrow f'(x)=2\cos^2 x-2\sin^2 x$

$\Leftrightarrow f'(x)=2\left(\cos^2x-\sin^2x\right)$

Perlu diingat bahwa $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ sehingga didapat

$f'(x)=2\cos2x$

Selanjutnya gradien garis singgung kurva $f(x)=2\sin x\cos x$ di absis $x=\frac{\pi}{6}$adalah

$m=f'(\frac{\pi}{6})=2\cos2\frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow m=2\cos\frac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow m=2.\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow m=1$