Bank Soal Matematika SMA Mencari Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Ekspresi implisit $\tan(x-y)=2x+3y^2$

Ditanya:

Turunan pertama terhadap $x$ dari ekspresi implisit $\tan(x-y)=2x+3y^2$ ?

Jawab:

Secara umum, untuk menentukan turunan pertama suatu ekspresi implisit menggunakan aturan rantai, yaitu:

Jika $y=f\left(t\right)$ dan $t=g\left(x\right)$ sehingga $y=h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ maka turunan pertamanya adalah

$y'=h'\left(x\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)$

atau

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$

Perhatikan ruas kiri ekspresi implisit yang diketahui pada soal, yaitu $\tan\left(x-y\right)$

Misalkan $t=x-y$ dan $y$ dalam $x$ (atau $y=f\left(x\right)$ ). Akibatnya $\tan\left(x-y\right)=\tan t$

Akan dicari turunan pertama $\tan\left(x-y\right)$ terhadap $x$ menggunakan aturan rantai. Diperoleh

Turunan pertama $\tan\left(x-y\right)=\tan t$ terhadap $t$ adalah $\sec^2t=\sec^2(x-y)$

Turunan pertama $t=x-y$ terhadap $x$ adalah $1-\frac{dy}{dx}$

Dengan demikian turunan pertama $\tan\left(x-y\right)$ terhadap $x$ adalah

$\sec^2(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right)=\sec^2(x-y)-\sec^2(x-y)\frac{dy}{dx}$

Selanjutnya perhatikan ruas kanan ekspresi implisit yang diketahui pada soal, yaitu $2x+3y^2$. Karena $y$ dalam $x$ (atau $y=f\left(x\right)$ ), maka dengan menggunakan aturan rantai, turunan pertama dari $2x+3y^2$ adalah $2+3.2y\frac{dy}{dx}=2+6y\frac{dy}{dx}$

Berdasarkan turunan ruas kiri dan turunan ruas kanan yang sudah diperoleh sebelumnya, didapat

$\sec^2(x-y)-\sec^2(x-y)\frac{dy}{dx}=2+6y\frac{dy}{dx}$

$\Leftrightarrow\sec^2(x-y)-2=6y\frac{dy}{dx}+\sec^2(x-y)\frac{dy}{dx}$

$\Leftrightarrow\sec^2(x-y)-2=(6y+\sec^2(x-y))\frac{dy}{dx}$

$\Leftrightarrow\frac{\sec^2(x-y)-2}{6y+\sec^2(x-y)}=\frac{dy}{dx}$