Bank Soal Matematika SMA Kedudukan Titik dan Garis pada Lingkaran

Diketahui:

Lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+4px+q=0$

$p>0$

jari-jari $=$ $4$

menyinggung garis $x=y$

Ditanya:

$p=?$

Jawab:

Diketahui bahwa jari-jari lingkaran adalah $4$. Rumus umum jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah

$r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

Karena $x^2+y^2+4px+q=0$ dengan $A=4p,B=0,C=q$ maka

$r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

$4=\sqrt{\frac{1}{4}\left(4p\right)^2+\frac{1}{4}\left(0\right)^2-q}$

$4=\sqrt{\frac{1}{4}\left(16p^2\right)+\frac{1}{4}\left(0\right)-q}$

$4=\sqrt{4p^2+0-q}$

Kuadratkan kedua ruas

$16=4p^2-q$

Selanjutnya, diketahui bahwa lingkaran menyinggung garis $x=y$ maka berlaku

$x^2+y^2+4px+q=0$

$x^2+x^2+4px+q=0$

$2x^2+4px+q=0$ dengan $a=2,b=4p,c=q$

Jika lingkaran menyinggung suatu garis maka diskriminan persamaan kuadrat persekutuan bernilai nol

$D=0$

$b^2-4ac=0$

$\left(4p\right)^2-4\left(2\right)\left(q\right)=0$

$16p^2-8q=0$

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{4}$

$4p^2-2q=0$

$4p^2-q-q=0$

Karena $4p^2-q=16$ maka

$16-q=0$

$q=16$

Sehingga,

$4p^2-q=16$

$4p^2-16=16$

$4p^2=16+16$

$4p^2=32$

$p^2=8$

$p=2\sqrt{2}$