Bank Soal Matematika SMA Persamaan Lingkaran

Diketahui:

$2x^2+2y^2-4x+5py-16=0$

melalui titik $\left(1,-2\right)$

Ditanya:

Persamaan lingkaran yang sepusat dengan panjang jari-jari 4 kali panjang jari-jari lingkaran tersebut $=?$

Jawab:

Pertama, mencari titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran

Jika titik $\left(a,b\right)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka berlaku

$a^2+b^2+Aa+Bb+C=0$

Karena persamaan lingkaran $2x^2+2y^2-4x+5py-16=0$ melalui titik $\left(1,-2\right)$ maka berlaku

$2\left(1\right)^2+2\left(-2\right)^2-4\left(1\right)+5p\left(-2\right)-16=0$

$2\left(1\right)+2\left(4\right)-4\left(1\right)+5p\left(-2\right)-16=0$

$2+8-4-10p-16=0$

$-10p-10=0$

$-10p=10$

$p=-1$

Sehingga persamaan lingkarannya

$2x^2+2y^2-4x-5y-16=0$

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2}$

$x^2+y^2-2x-\frac{5}{2}y-8=0$

$A=-2,B=-\frac{5}{2},C=-8$

Mencari titik pusat

Pusat $=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$

$=\left(-\frac{1}{2}\left(-2\right),-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$

$=\left(1,\frac{5}{4}\right)$

Mencari jari-jari

$r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

$=\sqrt{\frac{1}{4}\left(-2\right)^2+\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{2}\right)^2-\left(-8\right)}$

$=\sqrt{\frac{1}{4}\left(4\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{25}{4}\right)+8}$

$=\sqrt{\frac{4}{4}+\frac{25}{16}+8}$

$=\sqrt{\frac{16}{16}+\frac{25}{16}+\frac{128}{16}}$

$=\sqrt{\frac{169}{16}}$

$=\frac{13}{4}$

Karena lingkaran yang lain memiliki panjang jari-jari 4 kali jari-jari lingkaran sebelumnya maka

$r=\frac{13}{4}\times4$

$r=13$

Selanjutnya, menentukan persamaan lingkaran

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $\left(a,b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

Sehingga,

$\left(x-1\right)^2+\left(y-\frac{5}{4}\right)^2=13^2$

$\left(x-1\right)^2+\left(y-\frac{5}{4}\right)^2=169$