Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $x+2>\sqrt{10-x^2}$

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang merupakan memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$x+2>\sqrt{10-x^2}$... (1)

yang berarti $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=10-x^2$

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $g\left(x\right)$

$g\left(x\right)\ge0$

⇔ $10-x^2\ \ge0$

⇔ $x^2-10\le0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-10=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x$ dan $b=\pm\sqrt{10}$. Diperoleh

$x^2-10=0$

⇔ $\left(x+\sqrt{10}\right)\left(x-\sqrt{10}\right)=0\$ ... (3)

$x+\sqrt{10}=0\$ ⇔ $x=-\sqrt{10}$ atau

$x-\sqrt{10}=0$ ⇔ $x=\sqrt{10}$

Pembuat nolnya adalah $\sqrt{10}$ dan $-\sqrt{10}$ dengan $-\sqrt{10}\ <\ \sqrt{10}$. Tanda pertidaksamaan adalah $\le$ sehingga penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah $-\sqrt{10}\le\ x\ \le\ \sqrt{10}$ (*)

Syarat lain yang perlu diselesaikan adalah $f\left(x\right)\ge0$.

$x+2\ge0$ ⇔ $x\ge-2$ ... (**)

Setelah menyelesaikan tahap syarat akar, kita kuadratkan kedua ruas di pertidaksamaan awal, lalu mencari penyelesaiannya.

$\left(x+2\right)^2>\left(\sqrt{10-x^2}\right)^2$

⇔ $\left(x+2\right)^2>10-x^2$

⇔ $x^2+4x+4>10-x^2$

⇔ $2x^2+4x-6>0$

Bagi kedua ruas dengan 2:

⇔ $x^2+2x-3>0$

⇔ $\left(x+3\right)\left(x-1\right)>0$

Pembuat nolnya adalah

$x+3=0\ ⇔\ x=-3$ atau

$x-1=0\ ⇔\ x=1$.

Dari hasilnya, $-3\ <\ 1$. Tanda pertidaksamaan adalah $>$ sehingga $x<-3$ atau $x\ >\ 1$. (***)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*), (**), dan (***). Solusinya ditunjukkan dengan daerah yang beririsan di garis bilangan berikut, ditunjukkan dengan dua warna yang beririsan.

Jadi, batasan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $1<\ x\ \le\sqrt{10}$.

Pembuktian:

Untuk $1<x\le\sqrt{10}$, kita gunakan $x=3$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $3+2>\sqrt{10-3^2}$

⇔ $5>\sqrt{10-9}$

⇔ $5>\sqrt{1}$

⇔ $5>1$ ... (4)

Pernyataan (4) benar. Jadi, solusi terbukti memenuhi pertidaksamaan.