Bank Soal Matematika SMA Aljabar Vektor

Diketahui:

Vektor $\vec{v}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{w}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)$ dengan $\left|\vec{u}\right|=4$ dan $\left|\vec{v}\right|=\sqrt{5}$.

Ditanya:

Nilai cosinus sudut antara vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ ?

Jawab:

Perlu diingat definisi perkalian skalar sembarang vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ yaitu

$\vec{p}\cdot\vec{q}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{q}\right|\cos\theta$

dengan $\theta$ adalah sudut yang diapit oleh vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$. 

Selain itu, juga perlu diingat beberapa sifat berikut

$\vec{p}\cdot\left(\vec{q}-\vec{r}\right)=\vec{p}\cdot\vec{q}-\vec{p}\cdot\vec{r}$

$\vec{p}\cdot\vec{p}=\left|\vec{p}\right|^2$ dan

vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika $\vec{p}\cdot\vec{q}=0$

dengan

Diketahui vektor $\vec{v}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{w}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)$, didapat

$\vec{v}\cdot\vec{w}=0$

$\Leftrightarrow\vec{v}\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(\vec{v}\cdot\vec{u}\right)-\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)=0$

$\Leftrightarrow\left|\vec{v}\right|\cdot\left|\vec{u}\right|\cos\theta-\left|\vec{v}\right|^2=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{5}.4\cos\theta-\left(\sqrt{5}\right)^2=0$

$\Leftrightarrow4\sqrt{5}\cos\theta-5=0$

$\Leftrightarrow4\sqrt{5}\cos\theta=5$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{5}{4\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{5}{4\sqrt{5}}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow\cos\theta=\frac{1}{4}\sqrt{5}$